Номер 16, страница 33 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 3. Свободное падение. Движение тела, брошенного вертикально вверх. Кинематика. Механика - номер 16, страница 33.

Условие.

О6. Какую наименьшую начальную скорость нужно сообщить при ударе футбольному мячу, чтобы он перелетел через стену высотой H, находящуюся на расстоянии s?

$\sqrt{g(H+\sqrt{H^2+s^2})}$

Решение. Достаточно рассматривать только траектории движения мяча, проходящие через точку с координатами s и H (см. рисунок). Воспользуемся уравнением траектории:

$H = s \cdot \text{tg} \alpha - \frac{g \cdot s^2}{2v_0^2 \cdot \cos^2 \alpha}.$

Перепишем последнюю формулу в виде

$\frac{g \cdot s^2}{v_0^2} = -H + (s \cdot \sin 2\alpha - H \cdot \cos 2\alpha).$

Максимально возможное значение стоящего в скобках выражения равно

$\sqrt{H^2+s^2}.$

Таким образом,

$\frac{g \cdot s^2}{v_0^2} \le \sqrt{H^2+s^2} - H \text{ и } v_{0\text{min}} = \sqrt{g(H+\sqrt{H^2+s^2})}.$

Советуем проверить справедливость этого ответа в предельных случаях $H \rightarrow 0$ и $s \rightarrow 0$. Обратите внимание на то, что траектория мяча касается стены не в вершине параболы, а на ее нисходящей ветви.

Решение.

Дано:

$H$ - высота стены,
$s$ - расстояние до стены,
$g$ - ускорение свободного падения.

Все величины заданы в системе СИ.

Найти:

$v_{0,min}$ - наименьшая начальная скорость мяча.

Решение:

Движение футбольного мяча представляет собой движение тела, брошенного под углом к горизонту. Уравнение траектории движения тела, запущенного из начала координат с начальной скоростью $v_0$ под углом $\alpha$ к горизонтальной оси, имеет вид:

$y(x) = x \cdot \tan{\alpha} - \frac{g x^2}{2 v_0^2 \cos^2{\alpha}}$

Чтобы мяч перелетел через стену, его траектория должна пройти через точку с координатами $(s, H)$ или выше. Наименьшая начальная скорость будет соответствовать случаю, когда траектория мяча проходит точно через верхний край стены, то есть через точку с координатами $(s, H)$. Подставим эти координаты в уравнение траектории:

$H = s \cdot \tan{\alpha} - \frac{g s^2}{2 v_0^2 \cos^2{\alpha}}$

Нам необходимо найти минимальное значение $v_0$, при котором это уравнение имеет решение относительно угла $\alpha$. Для этого преобразуем уравнение, чтобы выразить $v_0$. Умножим обе части уравнения на $2 \cos^2{\alpha}$:

$2H \cos^2{\alpha} = 2s \cdot \frac{\sin{\alpha}}{\cos{\alpha}} \cos^2{\alpha} - \frac{g s^2}{v_0^2}$

$2H \cos^2{\alpha} = 2s \sin{\alpha} \cos{\alpha} - \frac{g s^2}{v_0^2}$

Выразим член, содержащий $v_0^2$:

$\frac{g s^2}{v_0^2} = 2s \sin{\alpha} \cos{\alpha} - 2H \cos^2{\alpha}$

Применим формулы двойного угла: $\sin{2\alpha} = 2 \sin{\alpha} \cos{\alpha}$ и $2 \cos^2{\alpha} = 1 + \cos{2\alpha}$.

$\frac{g s^2}{v_0^2} = s \sin{2\alpha} - H (1 + \cos{2\alpha})$

$\frac{g s^2}{v_0^2} = s \sin{2\alpha} - H \cos{2\alpha} - H$

Для того чтобы при заданной скорости $v_0$ существовал угол $\alpha$, удовлетворяющий этому уравнению, левая часть ($\frac{g s^2}{v_0^2}$) должна быть не больше максимального значения правой части. Найдем максимальное значение выражения $f(\alpha) = s \sin{2\alpha} - H \cos{2\alpha}$.

Используя метод вспомогательного угла, выражение вида $A \sin{x} + B \cos{x}$ можно представить как $\sqrt{A^2 + B^2} \sin(x + \phi)$, где $\phi$ - вспомогательный угол. Максимальное значение такого выражения равно $\sqrt{A^2 + B^2}$.

В нашем случае $A=s$ и $B=-H$, поэтому максимальное значение $s \sin{2\alpha} - H \cos{2\alpha}$ равно $\sqrt{s^2 + (-H)^2} = \sqrt{s^2 + H^2}$.

Следовательно, максимальное значение всей правой части уравнения равно $\sqrt{s^2 + H^2} - H$.

Таким образом, для существования решения должно выполняться условие:

$\frac{g s^2}{v_0^2} \le \sqrt{H^2 + s^2} - H$

Наименьшая скорость $v_{0,min}$ соответствует случаю, когда достигается равенство:

$\frac{g s^2}{v_{0,min}^2} = \sqrt{H^2 + s^2} - H$

Выразим из этого уравнения $v_{0,min}^2$:

$v_{0,min}^2 = \frac{g s^2}{\sqrt{H^2 + s^2} - H}$

Для упрощения этого выражения умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю выражение $\sqrt{H^2 + s^2} + H$:

$v_{0,min}^2 = \frac{g s^2 (\sqrt{H^2 + s^2} + H)}{(\sqrt{H^2 + s^2} - H)(\sqrt{H^2 + s^2} + H)}$

Используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ в знаменателе, получаем:

$v_{0,min}^2 = \frac{g s^2 (\sqrt{H^2 + s^2} + H)}{(H^2 + s^2) - H^2} = \frac{g s^2 (H + \sqrt{H^2 + s^2})}{s^2}$

Сократив $s^2$, получаем:

$v_{0,min}^2 = g (H + \sqrt{H^2 + s^2})$

Извлекая квадратный корень, находим искомую наименьшую начальную скорость:

$v_{0,min} = \sqrt{g (H + \sqrt{H^2 + s^2})}$

Ответ: $v_{0,min} = \sqrt{g (H + \sqrt{H^2 + s^2})}$