Номер 6.4, страница 44 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Механика. Динамика. 6. Сила упругости. Сила трения. Упражнения - номер 6.4, страница 44.

Условие.

6.4. На подставке лежит груз, прикрепленный легкой пружиной к потолку. В начальный момент пружина не растянута. Подставку начинают опускать с ускорением a. Через какое время t груз оторвется от подставки? Жесткость пружины k, масса груза m.

☑ $t = \sqrt{\frac{2m(g-a)}{ak}}$ при $a < g, t = 0$ при $a > g$.

Решение. До момента отрыва предмет движется вниз с ускорением a под действием силы тяжести mg, силы упругости пружины $F_{\text{упр}}$ и силы реакции опоры N. В момент отрыва сила N обращается в нуль. Для этого случая можно записать второй закон Ньютона: $\vec{F}_{\text{упр}} + \vec{mg} = m\vec{a}$. Проектируя это уравнение на вертикальную ось, получаем: $mg - F_{\text{упр}} = ma$. Используя закон Гука $F_{\text{упр}} = kx$ и соотношение $x = \frac{at^2}{2}$ для удлинения пружины x, получаем $t = \sqrt{\frac{2m(g-a)}{ak}}$ Время t уменьшается при увеличении ускорения a; при $a = g$ оно обращается в нуль. Очевидно, при $a > g$ предмет не поспевает за подставкой и сразу отрывается от нее, т. е. $t = 0$.

Решение.

Дано:

Жесткость пружины: $k$

Масса груза: $m$

Ускорение подставки: $a$

Ускорение свободного падения: $g$

Найти:

Время отрыва груза от подставки: $t$

Решение:

В начальный момент времени пружина не растянута. Когда подставка начинает двигаться вниз с ускорением $a$, пружина начинает растягиваться. Пока груз не оторвался от подставки, он движется вместе с ней как единое целое.

На груз действуют три силы:
1. Сила тяжести $F_{тяж} = mg$, направленная вертикально вниз.
2. Сила упругости пружины $F_{упр}$, направленная вертикально вверх.
3. Сила реакции опоры $N$, направленная вертикально вверх.

Запишем второй закон Ньютона для груза в проекции на вертикальную ось, направленную вниз:

$ma = mg - F_{упр} - N$

Сила упругости пружины определяется законом Гука: $F_{упр} = kx$, где $x$ – удлинение пружины. Поскольку груз движется из состояния покоя равноускоренно, его перемещение (равное удлинению пружины $x$) за время $t$ определяется формулой: $x = \frac{at^2}{2}$.

Подставим выражение для силы упругости в уравнение движения:

$ma = mg - kx - N$

Отрыв груза от подставки произойдет в тот момент, когда сила реакции опоры станет равной нулю, то есть $N=0$. В этот момент удлинение пружины будет $x_{отр}$. Условие отрыва:

$ma = mg - kx_{отр}$

Отсюда найдем удлинение пружины в момент отрыва:

$kx_{отр} = mg - ma = m(g - a)$

$x_{отр} = \frac{m(g - a)}{k}$

Теперь приравняем это выражение к кинематической формуле для перемещения $x_{отр} = \frac{at^2}{2}$, где $t$ – искомое время отрыва.

$\frac{at^2}{2} = \frac{m(g - a)}{k}$

Выразим из этого уравнения время $t$:

$t^2 = \frac{2m(g - a)}{ak}$

$t = \sqrt{\frac{2m(g - a)}{ak}}$

Это выражение имеет физический смысл, если подкоренное выражение неотрицательно. Так как $m, a, k > 0$, необходимо, чтобы выполнялось условие $g - a \ge 0$, то есть $a \le g$.

Если $a > g$, подставка ускоряется быстрее, чем тело в свободном падении. В этом случае груз не успевает за подставкой и отрывается от нее мгновенно, в самом начале движения. Таким образом, при $a > g$ время отрыва $t = 0$.

Если $a = g$, формула также дает $t = \sqrt{\frac{2m(g - g)}{ak}} = 0$, что соответствует отрыву в начальный момент времени.

Ответ:

Время, через которое груз оторвется от подставки, определяется выражением: $t = \sqrt{\frac{2m(g-a)}{ak}}$ при $a \le g$, и $t = 0$ при $a > g$.