Номер 6.5, страница 45 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Упражнения. 6. Сила упругости. Сила трения. Динамика. Механика - номер 6.5, страница 45.

Условие.

6.5. Два груза массами $M_1$ и $M_2$, связанные шнуром, лежат на горизонтальной поверхности. Шнур выдерживает силу натяжения $\text{T}$. Коэффициент трения между каждым из грузов и поверхностью равен $\mu$. С какой постоянной силой $\text{F}$ можно тянуть первый груз параллельно шнуру, чтобы шнур не разорвался?

$F < T + \mu M_1 g$ при $T < \mu M_2 g$; $F < T(1 + M_1/M_2)$ при $T > \mu M_2 g$.

Решение. Если сила $\text{F}$ совсем мала, шнур даже не натянется: чтобы он натянулся, надо сначала сдвинуть с места первый груз, а это произойдет только при $F > \mu M_1 g$. Что будет при дальнейшем увеличении $\text{F}$? Если шнур недостаточно прочный $(T < \mu M_2 g)$, то он порвется еще до того, как сдвинется с места второй груз, при $F_{max} = T + \mu M_1 g$. Если же шнур достаточно прочный, то силу $\text{F}$ можно увеличивать без опасности разрыва шнура до тех пор, пока ускорение системы не достигнет максимального значения

$a_{max} = \frac{T - \mu M_2 g}{M_2}$.

При этом $F_{max} = (M_1 + M_2)(a_{max} + \mu g) = T(1 + \frac{M_1}{M_2})$.

Решение.

Дано:

Масса первого груза: $M_1$

Масса второго груза: $M_2$

Максимальная сила натяжения, которую выдерживает шнур: $T$

Коэффициент трения между грузами и поверхностью: $\mu$

Ускорение свободного падения: $g$

Найти:

Условие для силы $F$, при котором шнур не разорвется.

Решение:

Рассмотрим силы, действующие на грузы. На каждый груз действует сила тяжести, сила нормальной реакции опоры и сила трения. Сила трения скольжения (или максимальная сила трения покоя) для первого груза равна $F_{тр1} = \mu N_1 = \mu M_1 g$, а для второго $F_{тр2} = \mu N_2 = \mu M_2 g$.

Чтобы система пришла в движение, приложенная сила $F$ должна как минимум преодолеть силу трения покоя первого груза, то есть $F > F_{тр1} = \mu M_1 g$. При этом шнур натянется. Обозначим силу натяжения шнура как $T'$. Шнур не разорвется, пока $T' \le T$.

Возможны два принципиально разных случая, в зависимости от прочности шнура $T$ и силы трения второго груза $F_{тр2}$.

1. Случай, когда шнур "недостаточно прочный": $T \le \mu M_2 g$

В этом случае максимальная сила натяжения, которую выдерживает шнур ($T$), меньше или равна силе, необходимой для того, чтобы сдвинуть с места второй груз ($\mu M_2 g$). Это означает, что шнур порвется еще до того, как второй груз начнет движение. Разрыв произойдет в тот момент, когда сила натяжения $T'$ достигнет своего предельного значения $T$. В этот момент на первый груз действуют: приложенная сила $F$, сила натяжения $T$ (направлена против $F$) и сила трения $F_{тр1}$ (также против $F$).

Поскольку второй груз не движется, ускорение первого груза в момент разрыва можно считать равным нулю (предельный случай, когда груз вот-вот начнет ускоряться или движется равномерно). Тогда по первому закону Ньютона для первого груза:

$F_{max} - T - F_{тр1} = 0$

$F_{max} = T + F_{тр1} = T + \mu M_1 g$

Чтобы шнур не разорвался, приложенная сила должна быть строго меньше этого значения:

$F < T + \mu M_1 g$

2. Случай, когда шнур "достаточно прочный": $T > \mu M_2 g$

В этом случае шнур способен выдержать натяжение, необходимое для преодоления силы трения второго груза. Значит, при достаточно большой силе $F$ оба груза будут двигаться с одинаковым ускорением $a$.

Запишем второй закон Ньютона для каждого груза в проекции на горизонтальную ось:

Для второго груза ($M_2$): $T' - F_{тр2} = M_2 a \implies T' - \mu M_2 g = M_2 a$

Для первого груза ($M_1$): $F - T' - F_{тр1} = M_1 a \implies F - T' - \mu M_1 g = M_1 a$

Шнур разорвется, когда сила натяжения $T'$ достигнет максимального значения $T$. Найдем максимальное ускорение $a_{max}$, при котором это произойдет, из уравнения для второго груза:

$T - \mu M_2 g = M_2 a_{max} \implies a_{max} = \frac{T - \mu M_2 g}{M_2}$

Теперь найдем максимальную силу $F_{max}$, которая создает это ускорение. Проще всего рассмотреть систему из двух грузов как единое целое с массой $(M_1 + M_2)$.

$F_{max} - F_{тр1} - F_{тр2} = (M_1 + M_2)a_{max}$

$F_{max} - \mu M_1 g - \mu M_2 g = (M_1 + M_2)a_{max}$

$F_{max} = \mu(M_1 + M_2)g + (M_1 + M_2)a_{max}$

Подставим выражение для $a_{max}$:

$F_{max} = (M_1 + M_2)(\mu g + a_{max}) = (M_1 + M_2)\left(\mu g + \frac{T - \mu M_2 g}{M_2}\right)$

Приведем к общему знаменателю выражение в скобках:

$F_{max} = (M_1 + M_2)\left(\frac{\mu g M_2 + T - \mu M_2 g}{M_2}\right) = (M_1 + M_2)\frac{T}{M_2}$

$F_{max} = T\left(\frac{M_1 + M_2}{M_2}\right) = T\left(1 + \frac{M_1}{M_2}\right)$

Чтобы шнур не разорвался, приложенная сила должна быть строго меньше этого значения:

$F < T\left(1 + \frac{M_1}{M_2}\right)$

Ответ:

Чтобы шнур не разорвался, приложенная сила $F$ должна удовлетворять одному из двух условий в зависимости от прочности шнура:

1. Если $T \le \mu M_2 g$, то $F < T + \mu M_1 g$.

2. Если $T > \mu M_2 g$, то $F < T\left(1 + \frac{M_1}{M_2}\right)$.