Номер 7.4, страница 51 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Механика. Динамика. 7. Закон всемирного тяготения. Сила тяжести и вес тела. Упражнения - номер 7.4, страница 51.

Условие.

7.4. Найдите силу F притяжения маленького шарика массой m и большого однородного шара массой M, в котором имеется сферическая полость (см. рисунок).

$F = \frac{GMm}{7} \left( \frac{8}{d^2} - \frac{1}{(d - R/2)^2} \right)$

Указание. См. рисунок.

Решение. Закон всемирного тяготения в виде $F = \frac{Mm}{r^2}$ можно применять для вычисления силы притяжения между материальной точкой и сферически симметричным телом (при этом $\text{r}$ – расстояние от центра тела до материальной точки). Сведем нашу задачу к этому случаю. Найдем сначала, на сколько увеличится сила притяжения, если заполнить полость, т. е. сделать шар сплошным и однородным. Поскольку объем шара пропорционален кубу его радиуса, объем полости составляет 1/8 всего объема шара. Поскольку масса M шара с полостью равна 7/8 массы сплошного шара, для заполнения полости потребуется шар массой $M/7$, центр которого расположен на расстоянии $d - R/2$ от шарика массой m. В результате заполнения полости сила притяжения увеличится на $F_1 = G \frac{Mm}{7(d-R/2)^2}$. Для сплошного шара применим закон всемирного тяготения в «обычном» виде; учитывая, что масса большого шара равна $8M/7$, получаем $F + F_1 = G \frac{8Mm}{7d^2}$. Отсюда $F = \frac{GMm}{7} \left( \frac{8}{d^2} - \frac{1}{(d-R/2)^2} \right)$.

Решение.

Дано:

Масса большого шара с полостью: $M$

Масса маленького шарика: $m$

Радиус большого шара: $R$

Радиус сферической полости: $R_{пол} = R/2$

Расстояние от центра большого шара до шарика m: $d$

Гравитационная постоянная: $G$

Найти:

Силу притяжения $F$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся принципом суперпозиции. Силу притяжения шара с полостью можно представить как разность сил притяжения сплошного шара (без полости) и силы притяжения той части, которая была удалена для создания полости.

1. Найдем массу сплошного шара ($M_{спл}$) и массу удаленной части ($M_{пол}$).

Пусть $\rho$ — плотность материала большого шара. Объем сплошного шара радиусом $R$ равен $V_{спл} = \frac{4}{3}\pi R^3$.

Объем полости, которая является шаром радиусом $R/2$, равен $V_{пол} = \frac{4}{3}\pi (R/2)^3 = \frac{4}{3}\pi \frac{R^3}{8} = \frac{1}{8}V_{спл}$.

Объем шара с полостью равен $V = V_{спл} - V_{пол} = V_{спл} - \frac{1}{8}V_{спл} = \frac{7}{8}V_{спл}$.

Масса шара с полостью дана и равна $M$. Тогда $M = \rho V = \rho \frac{7}{8}V_{спл}$.

Отсюда можно выразить массу гипотетического сплошного шара (до удаления полости):

$M_{спл} = \rho V_{спл} = \rho \left(\frac{8}{7}V\right) = \frac{8}{7}(\rho V) = \frac{8}{7}M$.

Масса удаленной части (полости) равна:

$M_{пол} = \rho V_{пол} = \rho \left(\frac{1}{8}V_{спл}\right) = \frac{1}{8}M_{спл} = \frac{1}{8}\left(\frac{8}{7}M\right) = \frac{1}{7}M$.

2. Рассчитаем силы по отдельности.

Сила притяжения со стороны сплошного шара массой $M_{спл}$ на шарик $m$, находящийся на расстоянии $d$ от его центра:

$F_{спл} = G \frac{M_{спл} m}{d^2} = G \frac{(\frac{8}{7}M) m}{d^2} = \frac{8}{7} \frac{GMm}{d^2}$.

Сила притяжения со стороны "удаленного" шара массой $M_{пол}$. Центр этого шара, согласно рисунку, находится на расстоянии $R - R/2 = R/2$ от центра большого шара. Таким образом, расстояние от центра полости до шарика $m$ равно $d - R/2$.

$F_{пол} = G \frac{M_{пол} m}{(d - R/2)^2} = G \frac{(\frac{1}{7}M) m}{(d - R/2)^2} = \frac{1}{7} \frac{GMm}{(d - R/2)^2}$.

3. Найдем результирующую силу.

Искомая сила $F$ равна разности сил $F_{спл}$ и $F_{пол}$ (так как мы "убираем" массу, мы должны вычесть ее гравитационное воздействие):

$F = F_{спл} - F_{пол} = \frac{8}{7} \frac{GMm}{d^2} - \frac{1}{7} \frac{GMm}{(d - R/2)^2}$.

Вынесем общий множитель за скобки:

$F = \frac{GMm}{7} \left( \frac{8}{d^2} - \frac{1}{(d - R/2)^2} \right)$.

Ответ: $F = \frac{GMm}{7} \left( \frac{8}{d^2} - \frac{1}{(d - R/2)^2} \right)$.