Номер 31, страница 55 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 7. Закон всемирного тяготения. Сила тяжести и вес тела. Динамика. Механика - номер 31, страница 55.

Условие.

O-31. Как изменилась бы продолжительность земного года, если бы масса Земли стала равной массе Солнца, а расстояние между ними осталось тем же?

Решение. В первом приближении пренебрегаем массами всех других планет Солнечной системы. Земля вращается вокруг центра масс системы Солнце–Земля. Так как масса Солнца во много раз превышает массу Земли, то можно считать, что центр масс системы совпадает с центром Солнца. Если бы масса Земли увеличилась и сделалась равной массе Солнца, то в этом случае центр масс системы Солнце–Земля находился бы на середине расстояния $\text{R}$ между Солнцем и Землей, то есть радиус земной орбиты уменьшился бы вдвое. Поскольку ускорение Земле по-прежнему будет сообщать притяжение Солнца, находящегося от нее на прежнем расстоянии, ускорение Земли должно остаться прежним: $\frac{4\pi^2}{T^2} \cdot \frac{R}{2} = \frac{4\pi^2}{T_0^2} \cdot R$, где $T_0$ — продолжительность земного года. Отсюда $T = \frac{T_0}{\sqrt{2}}$. Итак, продолжительность года уменьшилась бы в $\sqrt{2}$ раз. Заметим, что пользоваться при решении этой задачи третьим законом Кеплера нельзя (подумайте, почему).

Решение.

Дано:

Начальная масса Земли: $m_З$

Масса Солнца: $M_С$

Начальное условие: $M_С \gg m_З$

Конечная масса Земли: $m'_З = M_С$

Расстояние между центрами Земли и Солнца (постоянное): $R$

Начальная продолжительность земного года: $T_0$

Найти:

Конечную продолжительность земного года $T$

Решение:

В обоих случаях движение Земли происходит под действием силы гравитационного притяжения Солнца. Ускорение, которое эта сила сообщает Земле, согласно второму закону Ньютона, равно:

$a = \frac{F_G}{m_{Земли}} = \frac{G \frac{M_С \cdot m_{Земли}}{R^2}}{m_{Земли}} = G \frac{M_С}{R^2}$

Так как масса Солнца $M_С$ и расстояние $R$ по условию задачи не меняются, ускорение, сообщаемое Солнцем Земле, остается неизменным. Это ускорение является центростремительным для орбитального движения Земли.

Рассмотрим два случая.

1. Начальное состояние.

Масса Земли $m_З$ много меньше массы Солнца $M_С$. Поэтому центр масс системы Солнце-Земля находится очень близко к центру Солнца. Можно с хорошей точностью считать, что Земля вращается вокруг неподвижного Солнца по орбите, радиус которой $r_0 \approx R$.

Центростремительное ускорение Земли в этом случае равно:

$a = a_0 = \omega_0^2 r_0 = \left(\frac{2\pi}{T_0}\right)^2 R = \frac{4\pi^2 R}{T_0^2}$

2. Конечное состояние.

Масса Земли $m'_З$ становится равной массе Солнца $M_С$. Теперь оба тела вращаются вокруг общего центра масс. Поскольку их массы равны, центр масс находится ровно посередине между ними. Это означает, что и Земля, и Солнце вращаются по круговым орбитам радиусом $r = \frac{R}{2}$.

Центростремительное ускорение Земли с новым периодом обращения $T$ будет:

$a = a_1 = \omega^2 r = \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 \frac{R}{2} = \frac{2\pi^2 R}{T^2}$

Сравнение.

Поскольку ускорение Земли в обоих случаях одинаково ($a_0 = a_1$), мы можем приравнять полученные выражения:

$\frac{4\pi^2 R}{T_0^2} = \frac{2\pi^2 R}{T^2}$

Сократим обе части на $2\pi^2 R$:

$\frac{2}{T_0^2} = \frac{1}{T^2}$

Отсюда находим связь между квадратами периодов:

$T^2 = \frac{T_0^2}{2}$

И, наконец, новый период:

$T = \frac{T_0}{\sqrt{2}}$

Замечание из условия о том, что нельзя пользоваться третьим законом Кеплера, относится к его упрощенной форме ($T^2/R^3 = \text{const}$), которая справедлива для планет, вращающихся вокруг одного и того же массивного центрального тела. В нашей задаче изменяется масса одного из тел системы, что приводит к изменению полной массы системы ($M_С + m_З$), от которой зависит "постоянная" в законе Кеплера. Однако обобщенный третий закон Кеплера, $T^2 = \frac{4\pi^2 R^3}{G(M_1+M_2)}$, применить можно, и он дает тот же самый результат.

Ответ:

Продолжительность земного года уменьшилась бы в $\sqrt{2}$ раз.