Номер 8.6, страница 60 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Механика. Динамика. 8. Применение законов динамики. Упражнения - номер 8.6, страница 60.

Условие.

8.6. В показанной на рисунке системе

$\alpha = 20^\circ$, $m_1 = 2$ кг, $m_2 = 1$ кг. Коэффициент трения между первым грузом и наклонной плоскостью $\mu = 0,1$. Грузы отпускают без начальной скорости. а) Найдите ускорение $\text{a}$ системы грузов и силу натяжения нити $\text{T}$. б) Как изменится ответ, если коэффициент трения станет равным $0,3$?

☑ а) $a = 0,42$ м/с$^2$; $T = 9,4$ Н; б) $a = 0$, $T = 9,8$ Н.

Указание.

Чтобы определить возможное направление движения, необходим предварительный анализ условия (в этом состоит типичная сложность задач с учетом трения).

Непосредственный подсчет показывает, что если бы трение исчезло, то при заданных в условии значениях $\alpha$, $m_1$ и $m_2$ груз 1 поднимался бы, а груз 2 опускался. Значит, если грузы движутся, то именно в этих направлениях. Теперь можно расставить действующие на систему силы (см. рисунок).

Решение.

Дано:

$\alpha = 20^\circ$

$m_1 = 2 \text{ кг}$

$m_2 = 1 \text{ кг}$

$v_0 = 0 \text{ м/с}$

а) $\mu_1 = 0,1$

б) $\mu_2 = 0,3$

$g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$

Все данные уже в системе СИ.

Найти:

а) $a, T$ при $\mu = 0,1$ - ?

б) $a, T$ при $\mu = 0,3$ - ?

Решение

Сначала определим возможное направление движения системы. Для этого сравним силу тяжести, действующую на груз $m_2$, со скатывающей силой — проекцией силы тяжести груза $m_1$ на наклонную плоскость. Трение пока не учитываем.

Сила, тянущая систему в сторону опускания груза $m_2$: $F_2 = m_2 g = 1 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 = 9,8 \text{ Н}$.

Скатывающая сила для груза $m_1$: $F_{1\parallel} = m_1 g \sin\alpha = 2 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot \sin(20^\circ) \approx 19,6 \cdot 0,342 \approx 6,7 \text{ Н}$.

Поскольку $F_2 > F_{1\parallel}$, система будет стремиться двигаться так, что груз $m_2$ опускается, а груз $m_1$ поднимается по наклонной плоскости. Следовательно, сила трения $F_{тр}$, действующая на груз $m_1$, будет направлена вниз вдоль наклонной плоскости, противодействуя движению.

Запишем второй закон Ньютона для каждого из грузов в проекциях на оси, связанные с направлением движения. Ускорение $a$ у обоих грузов будет одинаковым по модулю из-за нерастяжимости нити. Сила натяжения нити $T$ также одинакова.

Для груза $m_2$ (ось направлена вертикально вниз):

$m_2 g - T = m_2 a \quad (1)$

Для груза $m_1$ (оси направлены вдоль и перпендикулярно наклонной плоскости):

Проекция на ось OY, перпендикулярную плоскости: $N - m_1 g \cos\alpha = 0$, откуда сила нормальной реакции $N = m_1 g \cos\alpha$.

Сила трения скольжения: $F_{тр} = \mu N = \mu m_1 g \cos\alpha$.

Проекция на ось OX, направленную вверх вдоль плоскости: $T - F_{1\parallel} - F_{тр} = m_1 a$.

$T - m_1 g \sin\alpha - \mu m_1 g \cos\alpha = m_1 a \quad (2)$

а) Найдём ускорение системы грузов и силу натяжения нити T при $\mu = 0,1$

Сложим уравнения (1) и (2), чтобы исключить силу натяжения нити $T$:

$(m_2 g - m_2 a) - m_1 g \sin\alpha - \mu m_1 g \cos\alpha = m_1 a$

Перегруппируем слагаемые, чтобы выразить ускорение $a$:

$m_2 g - m_1 g \sin\alpha - \mu m_1 g \cos\alpha = m_1 a + m_2 a$

$g(m_2 - m_1 \sin\alpha - \mu m_1 \cos\alpha) = a(m_1 + m_2)$

$a = \frac{g(m_2 - m_1 \sin\alpha - \mu m_1 \cos\alpha)}{m_1 + m_2}$

Подставим численные значения:

$a = \frac{9,8 \cdot (1 - 2 \cdot \sin(20^\circ) - 0,1 \cdot 2 \cdot \cos(20^\circ))}{2 + 1} \approx \frac{9,8 \cdot (1 - 2 \cdot 0,342 - 0,2 \cdot 0,940)}{3} \approx \frac{9,8 \cdot (1 - 0,684 - 0,188)}{3} = \frac{9,8 \cdot 0,128}{3} \approx 0,418 \text{ м/с}^2$.

Округляя до двух значащих цифр, получаем $a \approx 0,42 \text{ м/с}^2$.

Теперь найдем силу натяжения нити $T$ из уравнения (1):

$T = m_2(g - a) = 1 \cdot (9,8 - 0,42) = 9,38 \text{ Н}$.

Округляя, получаем $T \approx 9,4 \text{ Н}$.

Ответ: $a = 0,42 \text{ м/с}^2$, $T = 9,4 \text{ Н}$.

б) Как изменится ответ, если коэффициент трения станет равным 0,3?

При новом коэффициенте трения $\mu = 0,3$ необходимо проверить, начнётся ли движение вообще. Движение начнется только в том случае, если движущая сила $F_2$ будет больше максимальной силы сопротивления движению, которая складывается из скатывающей силы $F_{1\parallel}$ и максимальной силы трения покоя $F_{тр.пок.макс} = \mu N$.

Движущая сила: $F_{движ} = m_2 g = 9,8 \text{ Н}$.

Максимальная сила сопротивления: $F_{сопр.макс} = m_1 g \sin\alpha + \mu m_1 g \cos\alpha$.

$F_{сопр.макс} = 2 \cdot 9,8 \cdot \sin(20^\circ) + 0,3 \cdot 2 \cdot 9,8 \cdot \cos(20^\circ) \approx 19,6 \cdot 0,342 + 5,88 \cdot 0,940 \approx 6,70 + 5,53 = 12,23 \text{ Н}$.

Сравниваем силы:

$F_{движ} (9,8 \text{ Н}) < F_{сопр.макс} (12,23 \text{ Н})$

Так как движущая сила меньше максимальной силы сопротивления, система не придет в движение и будет находиться в состоянии покоя. Сила трения покоя примет значение, необходимое для равновесия, и не достигнет своего максимального значения.

Следовательно, ускорение системы равно нулю: $a = 0$.

Силу натяжения нити найдем из условия равновесия груза $m_2$:

$m_2 g - T = m_2 a = 0 \Rightarrow T = m_2 g$

$T = 1 \text{ кг} \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 = 9,8 \text{ Н}$.

Ответ: $a = 0$, $T = 9,8 \text{ Н}$.