Номер 9.2, страница 64 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Упражнения. 9. Элементы статики. Динамика. Механика - номер 9.2, страница 64.

Условие.

9.2. Невесомые стержни AB и BC шарнирно закреплены в точках A, B, C (см. рисунок). С какими силами растянуты или сжаты стержни, если $ \alpha = 60^\circ $, а масса подвешенного в точке B фонаря $ m = 3 $ кг?

Стержень AB растянут силой 17 Н, а стержень BC сжат силой 34 Н.

Решение. Шарнирно закрепленные стержни могут быть только растянуты или сжаты силами, приложенными к их концам, т. е. действующие на точку B со стороны этих стержней силы $ \vec{F}_{AB} $ и $ \vec{F}_{BC} $ направлены вдоль стержней.

Выбор направления сил упругости сделан также с учетом того, что при подвешивании груза стержень AB растягивается, а стержень BC сжимается. Поскольку равнодействующая трех показанных на рисунке сил равна нулю, в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси получаем $ F_{BC} \cos \alpha - F_{AB} = 0, F_{BC} \sin \alpha - mg = 0 $. Отсюда $ F_{BC} = \frac{mg}{\sin \alpha} = 34 \text{ (H)}, F_{AB} = mg \operatorname{ctg} \alpha = 17 \text{ (H)} $.

Решение.

Дано:

Масса фонаря, $m = 3$ кг

Угол, $\alpha = 60^{\circ}$

Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8$ м/с²

Все данные представлены в системе СИ или не требуют перевода.

Найти:

Силы, действующие в стержнях AB и BC, и определить, растянуты они или сжаты.

Решение:

Рассмотрим точку B, в которой сходятся стержни и подвешен фонарь. Поскольку система находится в равновесии, векторная сумма всех сил, приложенных к точке B, равна нулю (первый закон Ньютона).

На точку B действуют три силы:

1. Сила тяжести фонаря $\vec{F}_g = m\vec{g}$, направленная вертикально вниз.

2. Сила реакции со стороны стержня AB, $\vec{F}_{AB}$. Стержень AB горизонтален и препятствует смещению точки B вправо, поэтому он должен быть растянут. Сила $\vec{F}_{AB}$ направлена вдоль стержня, от точки B к точке A (горизонтально влево).

3. Сила реакции со стороны стержня BC, $\vec{F}_{BC}$. Стержень BC удерживает фонарь от падения и от смещения влево, поэтому он должен быть сжат. Сила $\vec{F}_{BC}$ направлена вдоль стержня, от точки C к точке B (вверх и вправо под углом $\alpha$ к горизонтали).

Условие равновесия для точки B в векторной форме:

$\vec{F}_{AB} + \vec{F}_{BC} + m\vec{g} = 0$

Для решения запишем это уравнение в проекциях на оси координат. Направим ось OX горизонтально вправо, а ось OY вертикально вверх. Начало координат поместим в точку B.

Проекции на ось OX:

$F_{BCx} - F_{AB} = 0$

$F_{BC} \cos\alpha - F_{AB} = 0 \quad (1)$

Проекции на ось OY:

$F_{BCy} - mg = 0$

$F_{BC} \sin\alpha - mg = 0 \quad (2)$

Из уравнения (2) выразим модуль силы $F_{BC}$:

$F_{BC} = \frac{mg}{\sin\alpha}$

Подставим числовые значения:

$F_{BC} = \frac{3 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2}{\sin 60^{\circ}} = \frac{29.4 \text{ Н}}{\sqrt{3}/2} \approx \frac{29.4 \text{ Н}}{0.866} \approx 33.95 \text{ Н} \approx 34 \text{ Н}$

Так как сила реакции $\vec{F}_{BC}$ направлена от опоры к точке, стержень BC сжат.

Теперь из уравнения (1) найдем модуль силы $F_{AB}$:

$F_{AB} = F_{BC} \cos\alpha$

Подставим найденное значение $F_{BC}$ и числовые значения:

$F_{AB} \approx 34 \text{ Н} \cdot \cos 60^{\circ} = 34 \text{ Н} \cdot 0.5 = 17 \text{ Н}$

Более точный расчет:

$F_{AB} = mg \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} = mg \cot\alpha = 29.4 \text{ Н} \cdot \cot 60^{\circ} = 29.4 \text{ Н} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 16.97 \text{ Н} \approx 17 \text{ Н}$

Так как сила реакции $\vec{F}_{AB}$ направлена от точки к опоре, стержень AB растянут.

Ответ: Стержень AB растянут силой 17 Н, а стержень BC сжат силой 34 Н.