Номер 34, страница 62 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 8. Применение законов динамики. Динамика. Механика - номер 34, страница 62.

Условие.

О-34. Металлическая замкнутая цепочка длиной $l = 62,8$ см насажена на диск. Диск раскручивают с помощью электродвигателя. Когда частота вращения диска достигает $n = 60$ с$^{}$, цепочка соскакивает с диска. Она ведет себя как жесткий обруч: может, например, катиться по столу, пока вращение не замедлится. Какова сила $\text{T}$ натяжения цепочки в тот момент, когда она соскакивает с диска? Масса цепочки $m = 40$ г.

☑ $T = 90$ Н.

Решение. Цепочку удерживает на ободе диска сила трения. Эта сила уменьшается вместе с силой давления цепочки на диск. Можно считать, что непосредственно перед соскакиванием цепочки обе эти силы равны нулю.

На рисунке показаны силы, действующие при этом на малый элемент цепочки, масса которого $\Delta m = \frac{\alpha}{2\pi}m$.

Уравнение второго закона Ньютона в проекции на ось $\text{x}$ имеет вид $\Delta m \cdot a = 2T \sin\frac{\alpha}{2}$, где $T = T_1 = T_2$. Учитывая, что $a = 4\pi^2n^2R$, $R = l/(2\pi)$, $\sin(\alpha/2) \approx \alpha/2$, получаем $\frac{\alpha m}{2\pi} \cdot \frac{4\pi^2n^2l}{2\pi} = 2T \cdot \frac{\alpha}{2}$. Отсюда $T = mn^2l = 90$ (Н). Тонкая цепочка при таком натяжении может порваться.

Решение.

Дано:

$l = 62,8 \text{ см} = 0,628 \text{ м}$

$n = 60 \text{ с}^{-1}$

$m = 40 \text{ г} = 0,04 \text{ кг}$

Найти:

$T$

Решение:

Когда цепочка вращается вместе с диском, каждый ее элемент движется по окружности. Для такого движения необходима центростремительная сила. В момент, когда цепочка соскакивает с диска, силы, удерживающие ее на диске (сила трения и сила реакции опоры), обращаются в ноль. Центростремительная сила создается исключительно силами натяжения $T$ самой цепочки.

Рассмотрим небольшой элемент цепочки массой $\Delta m$, соответствующий центральному углу $\alpha$. Так как цепочка однородна, масса этого элемента составляет часть от общей массы $m$, пропорциональную углу:

$\Delta m = m \frac{\alpha}{2\pi}$

На этот элемент действуют две силы натяжения $T$ от соседних частей цепочки, направленные по касательной. Векторная сумма этих сил направлена к центру окружности и равна $F_{\text{ц}} = 2T \sin(\frac{\alpha}{2})$.

Согласно второму закону Ньютона, эта сила равна произведению массы элемента на его центростремительное ускорение $a_{\text{ц}}$:

$F_{\text{ц}} = \Delta m \cdot a_{\text{ц}}$

$2T \sin(\frac{\alpha}{2}) = \Delta m \cdot a_{\text{ц}}$

Центростремительное ускорение $a_{\text{ц}}$ определяется через угловую скорость $\omega$ и радиус $R$ как $a_{\text{ц}} = \omega^2 R$. Угловая скорость, в свою очередь, связана с частотой вращения $n$ формулой $\omega = 2\pi n$. Тогда:

$a_{\text{ц}} = (2\pi n)^2 R = 4\pi^2 n^2 R$

Радиус окружности $R$ найдем из длины цепочки $l = 2\pi R$, откуда $R = \frac{l}{2\pi}$.

Подставим выражение для радиуса в формулу ускорения:

$a_{\text{ц}} = 4\pi^2 n^2 \left(\frac{l}{2\pi}\right) = 2\pi n^2 l$

Теперь объединим все в уравнении второго закона Ньютона:

$2T \sin(\frac{\alpha}{2}) = \left(m \frac{\alpha}{2\pi}\right) \cdot (2\pi n^2 l)$

Для малого элемента угол $\alpha$ мал, поэтому можно использовать приближение $\sin(\frac{\alpha}{2}) \approx \frac{\alpha}{2}$ (для угла в радианах).

$2T \left(\frac{\alpha}{2}\right) = m \alpha n^2 l$

$T\alpha = m \alpha n^2 l$

Сокращая на $\alpha$, получаем выражение для силы натяжения:

$T = m n^2 l$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$T = 0,04 \text{ кг} \cdot (60 \text{ с}^{-1})^2 \cdot 0,628 \text{ м} = 0,04 \cdot 3600 \cdot 0,628 \text{ Н} = 144 \cdot 0,628 \text{ Н} \approx 90,43 \text{ Н}$.

Результат близок к 90 Н, что, вероятно, является предполагаемым ответом с учетом возможного округления исходных данных.

Ответ: $T \approx 90 \text{ Н}$.