Номер 8.2, страница 57 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Упражнения. 8. Применение законов динамики. Динамика. Механика - номер 8.2, страница 57.

Условие.

8.2. К концам шнура, перекинутого через блок, подвешены грузы с массами $m_1 = 100 \text{ г}$ и $m_2 = 150 \text{ г}$. Найдите ускорение грузов, силу натяжения шнура $\text{T}$ и показание $\text{F}$ динамометра, на котором висит блок.

☑ 2 м/с$^2$; 1,2 Н; 2,4 Н.

Решение. Благодаря нерастяжимости шнура перемещения обоих грузов одинаковы по величине; значит, одинаковы по величине и их ускорения: $a_1 = a_2 = a$. Пренебрегая массами шнура и блока, а также трением в блоке, можно считать силу $\text{T}$ натяжения шнура всюду одинаковой. На рисунке а показаны действующие на грузы силы. Запишем уравнения второго закона Ньютона для каждого из грузов в проекции на ось $\text{y}$:

$\begin{cases} m_1 a = -m_1 g + T \\ -m_2 a = -m_2 g + T \end{cases}$

Отсюда $a = \frac{m_2 - m_1}{m_2 + m_1} g = 2,0 \text{ (м/с}^2\text{)}$, $T = \frac{2m_1 m_2 g}{m_1 + m_2} = 1,2 \text{ (Н)}$.

Для нахождения силы $\text{F}$ упругости пружины динамометра надо рассмотреть силы, действующие на блок (см. рис. б).

Из условия равновесия блока получаем, что $F = 2T = 2,4 \text{ (Н)}$. На примере данной задачи покажем два эффективных метода проверки полученного результата.

Первый из них — проверка на симметрию. Очевидно, если поменять грузы местами, натяжение шнура и величина ускорения грузов не должны измениться. Полученные для $\text{a}$ и $\text{T}$ выражения этому требованию удовлетворяют (при замене $m_1 \leftrightarrow m_2$, значение $\text{T}$ не изменяется, а ускорение меняет только знак).

Второй метод — проверка на частные и предельные случаи. Например, при $m_1 = m_2 = m$ ускорение должно быть равно нулю, а $T = mg$. При $m_1 \rightarrow 0$ должно быть $a \rightarrow g$, $T \rightarrow 0$ (груз 2 свободно падает и поэтому находится в состоянии невесомости). Полученные формулы удовлетворяют и этим требованиям. Обратим внимание на то, что вес обоих грузов одинаков, как бы сильно ни отличались их массы: ведь оба груза действуют на шнур с одинаковыми силами. Дело в том, что вес меньшего груза увеличивается (ускорение этого груза направлено вверх), а вес большего груза уменьшается (ускорение этого груза направлено вниз).

Решение.

Дано:

$m_1 = 100$ г

$m_2 = 150$ г

В системе СИ:

$m_1 = 0.1$ кг

$m_2 = 0.15$ кг

Ускорение свободного падения $g \approx 10 \, \text{м/с}^2$.

Найти:

$a$ — ускорение грузов;

$T$ — сила натяжения шнура;

$F$ — показание динамометра.

Решение:

Данная система представляет собой машину Атвуда. Будем считать шнур нерастяжимым и невесомым, а блок — идеальным (невесомым и без трения).

1. Ускорение грузов (a)

Поскольку $m_2 > m_1$, груз $m_2$ будет опускаться, а груз $m_1$ — подниматься. Из-за нерастяжимости шнура ускорения обоих грузов будут одинаковы по модулю. Обозначим модуль ускорения как $a$.

Запишем второй закон Ньютона для каждого груза в проекции на вертикальную ось $y$, направленную вверх:

Для груза $m_1$: $m_1a = T - m_1g$

Для груза $m_2$: $-m_2a = T - m_2g$ (ускорение направлено вниз, поэтому проекция отрицательна)

Получаем систему уравнений:

$$ \begin{cases} T = m_1a + m_1g \\ T = m_2g - m_2a \end{cases} $$

Приравняем правые части уравнений, чтобы найти ускорение $a$:

$m_1a + m_1g = m_2g - m_2a$

$a(m_1 + m_2) = g(m_2 - m_1)$

$a = \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2}g$

Подставим числовые значения:

$a = \frac{0.15 \, \text{кг} - 0.1 \, \text{кг}}{0.15 \, \text{кг} + 0.1 \, \text{кг}} \cdot 10 \, \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = \frac{0.05}{0.25} \cdot 10 \, \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = 0.2 \cdot 10 \, \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = 2 \, \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Ответ: Ускорение грузов равно $2 \, \text{м/с}^2$.

2. Сила натяжения шнура (T)

Для нахождения силы натяжения шнура $T$ подставим найденное значение ускорения $a$ в любое из уравнений системы. Воспользуемся первым:

$T = m_1(a + g)$

Подставим числовые значения:

$T = 0.1 \, \text{кг} \cdot (2 \, \frac{\text{м}}{\text{с}^2} + 10 \, \frac{\text{м}}{\text{с}^2}) = 0.1 \, \text{кг} \cdot 12 \, \frac{\text{м}}{\text{с}^2} = 1.2 \, \text{Н}$

Ответ: Сила натяжения шнура равна $1.2 \, \text{Н}$.

3. Показание динамометра (F)

Динамометр измеряет силу, с которой система "блок-грузы" действует на него. Эта сила равна по модулю силе упругости $F$, которая уравновешивает силы, действующие на блок со стороны шнура. На невесомый блок действуют две силы натяжения $T$, направленные вертикально вниз (по одной от каждого конца шнура).

Из условия равновесия блока следует, что показание динамометра $F$ равно сумме сил натяжения:

$F = T + T = 2T$

Подставим найденное значение $T$:

$F = 2 \cdot 1.2 \, \text{Н} = 2.4 \, \text{Н}$

Ответ: Показание динамометра равно $2.4 \, \text{Н}$.