Номер 28, страница 52 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 7. Закон всемирного тяготения. Сила тяжести и вес тела. Динамика. Механика - номер 28, страница 52.

Условие.

O-28. Однажды межпланетная космическая станция попала на удивительную планету: внутри она была пуста, т. е. имела форму сферической оболочки постоянной толщины. Обитатели планеты жили на ее внутренней поверхности и перелетали из одного места в другое, просто чуть-чуть подпрыгнув: внутри планеты совершенно не ощущалась сила тяжести! Как это объяснить?

Решение. Разобъем мысленно поверхность тонкой сферической оболочки на множество малых элементов. Каждый из них притягивает материальную точку к себе. Если барон прав, все эти силы притяжения должны компенсировать друг друга. Для точки в центре сферы это очевидно. Для произвольного положения A материальной точки массой $\text{m}$ внутри сферы нужно выбрать удобный способ разбиения сферы на участки. Проведем через точку A произвольную прямую $B_1B_2$. Узкими конусами с вершинами в точке A, полученными вращением образующей $DE$ вокруг оси $B_1B_2$, вырежем малые элементы сферы в окрестностях $B_1$ и $B_2$ (см. рисунок). Полученные малые элементы сферы можно считать плоскими. Они образуют одинаковые углы с осью $B_1B_2$, и потому их линейные размеры пропорциональны расстояниям до точки A, а площади — квадратам этих расстояний.

Так же относятся и их массы: $\Delta m_1/\Delta m_2 = (AB_1/AB_2)^2$.

Силы притяжения точки $\text{m}$ к этим участкам сферы $F_1 = Gm \cdot \Delta m_1/(AB_1)^2$ и $F_2 = Gm \cdot \Delta m_2/(AB_2)^2$. Учитывая полученную выше пропорцию, находим $F_1 = F_2$, т. е. эти силы действительно компенсируют друг друга. На такие пары элементов можно разбить всю поверхность сферы, поэтому на тело внутри тонкой сферической оболочки сила тяготения не действует. Тогда этот вывод справедлив и для сферической оболочки любой толщины: ведь ее можно мысленно разбить на тонкие сферические слои. Полученный результат непосредственно связан с тем, что сила всемирного тяготения обратно пропорциональна квадрату расстояния.

Решение.

Это явление объясняется одним из следствий закона всемирного тяготения, известным как первая теорема о притяжении сферической оболочкой (или теорема Ньютона). Согласно этой теореме, гравитационная сила, действующая на любое тело, находящееся внутри однородной сферической оболочки, равна нулю. Силы притяжения от всех элементов оболочки взаимно компенсируются.

Решение

Рассмотрим произвольную материальную точку массой $m$, расположенную в точке А внутри тонкой однородной сферической оболочки. Чтобы доказать, что суммарная сила притяжения, действующая на эту точку, равна нулю, разобьем всю поверхность сферы на пары противолежащих элементов и покажем, что силы от каждой пары компенсируют друг друга.

Проведем через точку А два узких конуса с общей вершиной, направленных в противоположные стороны. Эти конусы вырежут на поверхности сферы два малых участка (элемента) с массами $\Delta m_1$ и $\Delta m_2$ на расстояниях $r_1 = AB_1$ и $r_2 = AB_2$ от точки А.

Площади этих участков пропорциональны квадратам расстояний до них от вершины конуса (точки А):

$\frac{\Delta S_1}{\Delta S_2} = \frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{(AB_1)^2}{(AB_2)^2}$

Поскольку оболочка однородна, ее поверхностная плотность массы $\sigma$ постоянна. Масса каждого элемента равна произведению плотности на площадь ($\Delta m = \sigma \cdot \Delta S$). Следовательно, отношение масс элементов равно отношению их площадей:

$\frac{\Delta m_1}{\Delta m_2} = \frac{(AB_1)^2}{(AB_2)^2}$

Теперь запишем модули сил гравитационного притяжения, с которыми эти два элемента действуют на точку массой $m$ в точке А, согласно закону всемирного тяготения:

$F_1 = G \frac{m \cdot \Delta m_1}{(AB_1)^2}$ и $F_2 = G \frac{m \cdot \Delta m_2}{(AB_2)^2}$

Выразим массу $\Delta m_1$ из пропорции: $\Delta m_1 = \Delta m_2 \cdot \frac{(AB_1)^2}{(AB_2)^2}$ и подставим в формулу для силы $F_1$:

$F_1 = G \frac{m}{(AB_1)^2} \cdot \left(\Delta m_2 \frac{(AB_1)^2}{(AB_2)^2}\right) = G \frac{m \cdot \Delta m_2}{(AB_2)^2}$

Сравнивая полученное выражение с формулой для $F_2$, видим, что их модули равны: $F_1 = F_2$.

Поскольку векторы сил $\vec{F_1}$ и $\vec{F_2}$ направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны, их сумма равна нулю. Так как всю поверхность сферы можно разбить на такие пары противолежащих элементов, то и результирующая сила притяжения, действующая на тело в любой точке внутри тонкой сферической оболочки, равна нулю.

Планета из условия задачи представляет собой сферическую оболочку конечной толщины. Такую оболочку можно мысленно разбить на множество вложенных друг в друга тонких сферических слоев. Поскольку сила тяготения внутри каждого такого слоя равна нулю, то и суммарная сила тяготения внутри всей толстой оболочки также будет равна нулю.

Ответ: Сила тяжести внутри планеты, имеющей форму сферической оболочки, отсутствует, потому что гравитационные силы притяжения от различных участков этой оболочки, действующие на любое тело внутри, взаимно компенсируются. Это является прямым следствием того, что сила всемирного тяготения обратно пропорциональна квадрату расстояния.