Номер 29, страница 53 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 7. Закон всемирного тяготения. Сила тяжести и вес тела. Динамика. Механика - номер 29, страница 53.

Условие.

О-29. Известно, что при подъеме тела с поверхности Земли сила $\text{F}$ его притяжения к Земле уменьшается. А как изменяется эта сила при погружении тела в шахту, доходящую до центра Земли? Постройте график зависимости $F(r)$ для тела массой $\text{m}$, где $\text{r}$ — расстояние тела от центра Земли. Считайте Землю однородным шаром.

☑ См. рисунок a.

Решение. Обозначим радиус и массу Земли соответственно $\text{R}$ и $\text{M}$. Тогда при $r \ge R$ согласно закону всемирного тяготения $F = GMm/r^2$. Чтобы найти вид зависимости $F(r)$ при $r < R$, проведем мысленно сферу радиусом $\text{r}$ с центром в центре Земли и рассмотрим отдельно силу притяжения тела к той части Земли, которая находится внутри этой сферы (обозначим массу этой части $M'$), и к сферическому слою, выделенному на рисунке б. Сила притяжения к слою равна нулю (см. задачу О-28). Таким образом, тело в шахте испытывает притяжение только части Земли радиусом $\text{r}$ и массой $M'$. Поскольку объем сферы пропорционален кубу ее радиуса, $M'/M = r^3/R^3$, откуда $F = G \frac{M'm}{r^2} = G \frac{Mm}{R^3} r$. Учитывая, что $G \frac{M}{R^2} = g$, запишем полученные результаты в виде: $F = mgr/R$ при $r < R$; $F = mgR^2/r^2$ при $r \ge R$. График зависимости $F(r)$ показан на рисунке а. Как видим, наибольшая сила тяготения — на поверхности Земли. Следует, правда, сделать оговорку: в действительности плотность Земли не всюду одинакова, и поэтому приведенный результат для $r < R$ не вполне точен.

Решение.

Дано:

Масса тела: $m$
Масса Земли: $M$
Радиус Земли: $R$
Расстояние от центра Земли до тела: $r$
Ускорение свободного падения на поверхности Земли: $g$
Земля считается однородным шаром.

Найти:

Зависимость силы притяжения $F$ от расстояния $r$ — $F(r)$, и построить её график.

Решение:

Решение задачи следует разделить на два случая: когда тело находится вне Земли или на её поверхности ($r \ge R$), и когда тело находится внутри Земли ($r < R$).

1. Случай, когда $r \ge R$ (тело на поверхности или над Землей)

Согласно закону всемирного тяготения, сила притяжения, действующая на тело массы $m$ со стороны Земли массы $M$, равна:

$F = G \frac{Mm}{r^2}$

где $G$ — гравитационная постоянная. Для объекта, находящегося вне сферически симметричного тела, последнее создает такое же гравитационное поле, как и материальная точка той же массы, расположенная в его центре. На поверхности Земли, при $r=R$, сила притяжения равна весу тела $mg$:

$F(R) = mg = G \frac{Mm}{R^2}$

Из этого соотношения можно выразить произведение $GM$: $GM = gR^2$. Подставим это в общую формулу для силы:

$F(r) = \frac{gR^2 m}{r^2} = mg \frac{R^2}{r^2}$

Таким образом, при удалении от Земли сила притяжения убывает обратно пропорционально квадрату расстояния от её центра.

2. Случай, когда $r < R$ (тело внутри Земли)

Когда тело находится внутри Земли на расстоянии $r$ от центра, согласно теореме о притяжении сферической оболочкой, сила притяжения создается только той частью массы Земли, которая находится внутри сферы радиусом $r$. Массу этой внутренней части обозначим $M'$. Внешний сферический слой (от $r$ до $R$) не создает результирующей силы притяжения.

Сила притяжения в этом случае будет равна:

$F(r) = G \frac{M'm}{r^2}$

Поскольку Земля считается однородным шаром, её плотность $\rho$ постоянна и равна отношению полной массы $M$ к полному объему $V$:

$\rho = \frac{M}{V} = \frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3}$

Масса $M'$ внутренней сферы радиусом $r$ равна произведению плотности на её объём $V'$:

$M' = \rho V' = \left( \frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3} \right) \cdot \left( \frac{4}{3}\pi r^3 \right) = M \frac{r^3}{R^3}$

Теперь подставим выражение для $M'$ в формулу для силы $F(r)$:

$F(r) = G \frac{(M \frac{r^3}{R^3})m}{r^2} = G \frac{Mm}{R^3} r$

Используя ранее полученное соотношение $g = G\frac{M}{R^2}$, преобразуем формулу:

$F(r) = \left( G \frac{M}{R^2} \right) \frac{mr}{R} = g \frac{mr}{R} = mg \frac{r}{R}$

Внутри Земли сила притяжения прямо пропорциональна расстоянию до центра. В центре Земли ($r=0$) сила равна нулю. На поверхности ($r=R$) сила достигает своего максимального значения $mg$, что совпадает со значением из первого случая.

Построение графика F(r)

Объединим полученные результаты в виде системы:

$F(r) = \begin{cases} mg \frac{r}{R}, & \text{если } 0 \le r \le R \\ mg \frac{R^2}{r^2}, & \text{если } r > R \end{cases}$

График этой зависимости состоит из двух частей. На отрезке от $r=0$ до $r=R$ это прямая линия, выходящая из начала координат и достигающая значения $mg$ на поверхности. При $r > R$ это гиперболическая кривая, убывающая как $1/r^2$. Например, при $r=2R$ сила будет равна $F = mg \frac{R^2}{(2R)^2} = \frac{mg}{4}$. Максимальная сила притяжения достигается на поверхности Земли при $r=R$. График, представленный в условии задачи на рисунке а, полностью соответствует полученным выводам.

Ответ:

Зависимость силы притяжения $F$ от расстояния $r$ до центра Земли описывается системой уравнений:
$F(r) = mg \frac{r}{R}$ при $0 \le r \le R$;
$F(r) = mg \frac{R^2}{r^2}$ при $r > R$.
Графически эта зависимость представляет собой линейное возрастание силы от 0 в центре Земли ($r=0$) до максимального значения $mg$ на поверхности ($r=R$), а затем — убывание по закону обратных квадратов при удалении от поверхности ($r > R$).