Номер 8.1, страница 57 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Упражнения. 8. Применение законов динамики. Динамика. Механика - номер 8.1, страница 57.

Условие.

8.1. На тележке, движущейся горизонтально с ускорением $\text{a}$, установлен штатив, на котором подвешен шарик на нити. Найдите угол $\alpha$ отклонения нити от вертикали и силу $\text{T}$ натяжения нити.

$\alpha = \text{arctg}(a/g); T = m\sqrt{g^2 + a^2}$

Решение. На шарик действуют сила тяжести $m\vec{g}$ и сила $\vec{T}$ натяжения нити (см. рисунок). Их равнодействующая $\vec{F}$ сообщает шарику ускорение $\vec{a}$, т. е. $\vec{F} = m\vec{a}$.

Следовательно, $tg \alpha = a/g$.

Воспользовавшись теоремой Пифагора, находим, что $T = m\sqrt{g^2 + a^2}$.

Решение.

Дано:

$m$ – масса шарика
$a$ – ускорение тележки (горизонтальное)
$g$ – ускорение свободного падения

Все величины считаются заданными в системе СИ.

Найти:

$\alpha$ – угол отклонения нити от вертикали
$T$ – сила натяжения нити

Решение:

Рассмотрим шарик в инерциальной системе отсчета, связанной с землей. На шарик действуют две силы:

1. Сила тяжести $\vec{F_g} = m\vec{g}$, направленная вертикально вниз.

2. Сила натяжения нити $\vec{T}$, направленная вдоль нити под углом $\alpha$ к вертикали.

Поскольку шарик движется вместе с тележкой, он имеет горизонтальное ускорение $\vec{a}$. Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая всех сил, действующих на шарик, равна произведению его массы на ускорение:

$\vec{T} + m\vec{g} = m\vec{a}$

Для решения этого векторного уравнения разложим силы на компоненты. Введем систему координат: ось Ox направим горизонтально в сторону ускорения, а ось Oy – вертикально вверх.

Запишем проекции второго закона Ньютона на эти оси:

На ось Ox: $T_x = ma$
Из геометрии рисунка видно, что $T_x = T \sin(\alpha)$.
Следовательно, $T \sin(\alpha) = ma$ (1)

На ось Oy: $T_y - mg = 0$ (так как по вертикали шарик не движется, его ускорение в этой проекции равно нулю).
Из геометрии рисунка $T_y = T \cos(\alpha)$.
Следовательно, $T \cos(\alpha) = mg$ (2)

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными, $\alpha$ и $T$.

1. Найдем угол $\alpha$.

Разделим уравнение (1) на уравнение (2):

$\frac{T \sin(\alpha)}{T \cos(\alpha)} = \frac{ma}{mg}$

Сократив $T$ и $m$, получим:

$\tan(\alpha) = \frac{a}{g}$

Отсюда угол отклонения нити равен:

$\alpha = \arctan(\frac{a}{g})$

2. Найдем силу натяжения нити $T$.

Возведем в квадрат оба уравнения (1) и (2) и сложим их:

$(T \sin(\alpha))^2 + (T \cos(\alpha))^2 = (ma)^2 + (mg)^2$

$T^2 \sin^2(\alpha) + T^2 \cos^2(\alpha) = m^2 a^2 + m^2 g^2$

Вынесем $T^2$ и $m^2$ за скобки:

$T^2 (\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha)) = m^2 (a^2 + g^2)$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$, получаем:

$T^2 = m^2 (g^2 + a^2)$

Извлекая квадратный корень, находим модуль силы натяжения нити:

$T = \sqrt{m^2 (g^2 + a^2)} = m\sqrt{g^2 + a^2}$

Ответ: Угол отклонения нити от вертикали $\alpha = \arctan(\frac{a}{g})$, сила натяжения нити $T = m\sqrt{g^2 + a^2}$.