Номер 8.5, страница 59 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Упражнения. 8. Применение законов динамики. Динамика. Механика - номер 8.5, страница 59.

Условие.

8.5. Через блок, укрепленный на ребре призмы (см. рисунок), перекинута нить с грузами на концах. Найдите ускорение грузов $\text{a}$ и силу натяжения нити $\text{T}$. Трением можно пренебречь.

☑ $a = \frac{m_2 \sin \beta - m_1 \sin \alpha}{m_1 + m_2} g, T = \frac{m_1 m_2 g (\sin \alpha + \sin \beta)}{m_1 + m_2}.$

Решение. На рисунке показаны действующие на грузы силы ($T_1 = T_2 = T$). Поскольку нить нерастяжима, $a_1 = a_2 = a$ (направления ускорений на рисунке выбраны предположительно, если решение покажет, что $a < 0$, их следует изменить на противоположные).

Уравнения второго закона Ньютона для каждого из грузов удобно спроецировать на «свою» ось, параллельную соответствующей наклонной плоскости:

($x_1$) $m_1 a = -m_1 g \sin \alpha + T,$

($x_2$) $m_2 a = m_2 g \sin \beta - T.$

Отсюда $a = \frac{m_2 \sin \beta - m_1 \sin \alpha}{m_1 + m_2} g, T = \frac{m_1 m_2 g (\sin \alpha + \sin \beta)}{m_1 + m_2}.$

Решение.

Решение

Рассмотрим силы, действующие на каждый из грузов, как показано на рисунке. На груз массой $m_1$ действуют сила тяжести $m_1g$, сила нормальной реакции опоры $N_1$ и сила натяжения нити $T$. На груз массой $m_2$ действуют сила тяжести $m_2g$, сила нормальной реакции опоры $N_2$ и сила натяжения нити $T$.

Поскольку нить идеальная (невесомая и нерастяжимая) и блок идеальный (невесомый и без трения), то сила натяжения нити $T$ одинакова по всей её длине, а ускорения грузов равны по модулю. Обозначим модуль ускорения как $a$.

Для решения задачи введем системы координат, связав их с наклонными плоскостями. Для груза $m_1$ направим ось $x_1$ вдоль плоскости вверх, а для груза $m_2$ — ось $x_2$ вдоль плоскости вниз. Предположим, что система движется таким образом, что груз $m_2$ соскальзывает вниз, увлекая за собой груз $m_1$ вверх. В этом случае проекции ускорений на соответствующие оси будут положительны.

Запишем второй закон Ньютона для каждого тела в проекции на выбранные оси:

Для груза $m_1$ на ось $x_1$:

$m_1a = T - m_1g \sin\alpha \quad (1)$

Для груза $m_2$ на ось $x_2$:

$m_2a = m_2g \sin\beta - T \quad (2)$

Мы получили систему двух уравнений с двумя неизвестными: $a$ (ускорение) и $T$ (сила натяжения нити).

Чтобы найти ускорение $a$, сложим почленно уравнения (1) и (2). Сила натяжения нити $T$ при этом сократится:

$m_1a + m_2a = (T - m_1g \sin\alpha) + (m_2g \sin\beta - T)$

$(m_1 + m_2)a = m_2g \sin\beta - m_1g \sin\alpha$

Отсюда выражаем ускорение:

$a = \frac{m_2g \sin\beta - m_1g \sin\alpha}{m_1 + m_2} = \frac{m_2 \sin\beta - m_1 \sin\alpha}{m_1 + m_2} g$

Для нахождения силы натяжения нити $T$ выразим её из уравнения (1):

$T = m_1a + m_1g \sin\alpha$

Подставим в это выражение найденное значение ускорения $a$:

$T = m_1 \left( \frac{m_2g \sin\beta - m_1g \sin\alpha}{m_1 + m_2} \right) + m_1g \sin\alpha$

Приводя к общему знаменателю, получаем:

$T = \frac{m_1(m_2g \sin\beta - m_1g \sin\alpha) + m_1g \sin\alpha(m_1 + m_2)}{m_1 + m_2}$

Раскроем скобки в числителе:

$T = \frac{m_1m_2g \sin\beta - m_1^2g \sin\alpha + m_1^2g \sin\alpha + m_1m_2g \sin\alpha}{m_1 + m_2}$

После сокращения подобных членов ($ -m_1^2g \sin\alpha $ и $ +m_1^2g \sin\alpha $) получаем:

$T = \frac{m_1m_2g \sin\beta + m_1m_2g \sin\alpha}{m_1 + m_2}$

Вынесем общий множитель $m_1m_2g$ за скобки:

$T = \frac{m_1m_2g(\sin\alpha + \sin\beta)}{m_1 + m_2}$

Ответ:

Ускорение грузов: $a = \frac{m_2 \sin\beta - m_1 \sin\alpha}{m_1 + m_2} g$.

Сила натяжения нити: $T = \frac{m_1m_2g(\sin\alpha + \sin\beta)}{m_1 + m_2}$.