Номер 9.3, страница 65 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Механика. Динамика. 9. Элементы статики. Упражнения - номер 9.3, страница 65.

Условие.

9.3. Фонарь массой $m = 10 \text{ кг}$ висит посредине улицы шириной $l = 10 \text{ м}$. Допустимая сила натяжения каната $T = 500 \text{ Н}$. На какой высоте $\text{H}$ надо закрепить концы каната, чтобы точка подвеса фонаря находилась на высоте $h = 5 \text{ м}$?

☑ $H \ge 5,5 \text{ м}$.

Решение. Равнодействующая трех сил, приложенных в точке подвеса фонаря (см. рисунок) равна нулю.

Следовательно, $2T_1 \sin\alpha - mg = 0$, где $T_1 = T_2 \le T$. Учитывая, что $2(H - h) = l \operatorname{tg}\alpha$, и выражая $\operatorname{tg}\alpha$ через $\sin\alpha$, получаем $H \ge h + \frac{mgl}{2\sqrt{4T^2 - (mg)^2}} = 5,5 \text{ (м)}.$

Решение.

Дано:

Масса фонаря, $m = 10$ кг
Ширина улицы, $l = 10$ м
Допустимая сила натяжения каната, $T_{max} = 500$ Н
Высота подвеса фонаря, $h = 5$ м
Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с²

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Высоту крепления концов каната, $H$.

Решение:

Фонарь находится в равновесии, следовательно, векторная сумма всех сил, приложенных к точке подвеса, равна нулю. На точку подвеса действуют три силы: сила тяжести $\vec{F_g} = m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и две силы натяжения каната $\vec{T_1}$ и $\vec{T_2}$, направленные вдоль каната.

Условие равновесия в векторной форме:

$\vec{T_1} + \vec{T_2} + m\vec{g} = 0$

Запишем это уравнение в проекциях на оси координат. Ось OY направим вертикально вверх, а ось OX — горизонтально. Пусть $\alpha$ — угол между канатом и горизонталью.

Проекция на ось OX:
$T_2 \cos\alpha - T_1 \cos\alpha = 0$

Из этого уравнения следует, что $T_1 = T_2$. Обозначим силу натяжения каждой части каната как $T_{rope}$.

Проекция на ось OY:
$T_1 \sin\alpha + T_2 \sin\alpha - mg = 0$
$2 T_{rope} \sin\alpha = mg$

Отсюда выразим силу натяжения:

$T_{rope} = \frac{mg}{2 \sin\alpha}$

По условию задачи, сила натяжения не должна превышать допустимое значение $T_{max}$, то есть $T_{rope} \le T_{max}$.

$\frac{mg}{2 \sin\alpha} \le T_{max}$

Из этого неравенства следует, что:

$\sin\alpha \ge \frac{mg}{2 T_{max}}$

Теперь свяжем угол $\alpha$ с геометрическими параметрами системы. Из рисунка видно, что мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник, у которого катеты равны $(H-h)$ и $l/2$. Тогда тангенс угла $\alpha$ равен:

$\text{tg}\alpha = \frac{H-h}{l/2}$

Используем тригонометрическое тождество, связывающее тангенс и синус: $\text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\sqrt{1-\sin^2\alpha}}$.

Так как функция тангенса возрастает для углов от 0 до 90°, то из неравенства для синуса следует неравенство для тангенса:

$\text{tg}\alpha \ge \frac{\frac{mg}{2 T_{max}}}{\sqrt{1 - (\frac{mg}{2 T_{max}})^2}} = \frac{mg}{\sqrt{4T_{max}^2 - (mg)^2}}$

Приравнивая два выражения для $\text{tg}\alpha$, получаем:

$\frac{H-h}{l/2} \ge \frac{mg}{\sqrt{4T_{max}^2 - (mg)^2}}$

Выразим отсюда $H$:

$H-h \ge \frac{l}{2} \cdot \frac{mg}{\sqrt{4T_{max}^2 - (mg)^2}}$

$H \ge h + \frac{mgl}{2\sqrt{4T_{max}^2 - (mg)^2}}$

Подставим числовые значения:

$H \ge 5 + \frac{10 \cdot 10 \cdot 10}{2\sqrt{4 \cdot (500)^2 - (10 \cdot 10)^2}}$

$H \ge 5 + \frac{1000}{2\sqrt{4 \cdot 250000 - 100^2}}$

$H \ge 5 + \frac{1000}{2\sqrt{1000000 - 10000}}$

$H \ge 5 + \frac{1000}{2\sqrt{990000}}$

$H \ge 5 + \frac{500}{\sqrt{990000}} \approx 5 + \frac{500}{994.987}$

$H \ge 5 + 0.5025 \approx 5.5025$ м

Округляя результат, получаем, что высота $H$ должна быть не менее 5,5 м.

Ответ: $H \ge 5,5$ м.