Номер 9.3, страница 65 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Авторы: Гельфгат И. М., Генденштейн Л. Э., Кирик Л. А.
Тип: Задачник
Издательство: Илекса
Год издания: 2008 - 2025
Уровень обучения: профильный
Цвет обложки: красный лупа, парень едет на велосипеде
ISBN: 978-5-89237-252-7
Популярные ГДЗ в 10 классе
Упражнения. 9. Элементы статики. Динамика. Механика - номер 9.3, страница 65.
№9.3 (с. 65)
Условие. №9.3 (с. 65)
скриншот условия

9.3. Фонарь массой $m = 10 \text{ кг}$ висит посредине улицы шириной $l = 10 \text{ м}$. Допустимая сила натяжения каната $T = 500 \text{ Н}$. На какой высоте $\text{H}$ надо закрепить концы каната, чтобы точка подвеса фонаря находилась на высоте $h = 5 \text{ м}$?
☑ $H \ge 5,5 \text{ м}$.
Решение. Равнодействующая трех сил, приложенных в точке подвеса фонаря (см. рисунок) равна нулю.
Следовательно, $2T_1 \sin\alpha - mg = 0$, где $T_1 = T_2 \le T$. Учитывая, что $2(H - h) = l \operatorname{tg}\alpha$, и выражая $\operatorname{tg}\alpha$ через $\sin\alpha$, получаем $H \ge h + \frac{mgl}{2\sqrt{4T^2 - (mg)^2}} = 5,5 \text{ (м)}.$
Решение. №9.3 (с. 65)
Дано:
Масса фонаря, $m = 10$ кг
Ширина улицы, $l = 10$ м
Допустимая сила натяжения каната, $T_{max} = 500$ Н
Высота подвеса фонаря, $h = 5$ м
Ускорение свободного падения, $g \approx 10$ м/с²
Все данные представлены в системе СИ.
Найти:
Высоту крепления концов каната, $H$.
Решение:
Фонарь находится в равновесии, следовательно, векторная сумма всех сил, приложенных к точке подвеса, равна нулю. На точку подвеса действуют три силы: сила тяжести $\vec{F_g} = m\vec{g}$, направленная вертикально вниз, и две силы натяжения каната $\vec{T_1}$ и $\vec{T_2}$, направленные вдоль каната.
Условие равновесия в векторной форме:
$\vec{T_1} + \vec{T_2} + m\vec{g} = 0$
Запишем это уравнение в проекциях на оси координат. Ось OY направим вертикально вверх, а ось OX — горизонтально. Пусть $\alpha$ — угол между канатом и горизонталью.
Проекция на ось OX:
$T_2 \cos\alpha - T_1 \cos\alpha = 0$
Из этого уравнения следует, что $T_1 = T_2$. Обозначим силу натяжения каждой части каната как $T_{rope}$.
Проекция на ось OY:
$T_1 \sin\alpha + T_2 \sin\alpha - mg = 0$
$2 T_{rope} \sin\alpha = mg$
Отсюда выразим силу натяжения:
$T_{rope} = \frac{mg}{2 \sin\alpha}$
По условию задачи, сила натяжения не должна превышать допустимое значение $T_{max}$, то есть $T_{rope} \le T_{max}$.
$\frac{mg}{2 \sin\alpha} \le T_{max}$
Из этого неравенства следует, что:
$\sin\alpha \ge \frac{mg}{2 T_{max}}$
Теперь свяжем угол $\alpha$ с геометрическими параметрами системы. Из рисунка видно, что мы можем рассмотреть прямоугольный треугольник, у которого катеты равны $(H-h)$ и $l/2$. Тогда тангенс угла $\alpha$ равен:
$\text{tg}\alpha = \frac{H-h}{l/2}$
Используем тригонометрическое тождество, связывающее тангенс и синус: $\text{tg}\alpha = \frac{\sin\alpha}{\sqrt{1-\sin^2\alpha}}$.
Так как функция тангенса возрастает для углов от 0 до 90°, то из неравенства для синуса следует неравенство для тангенса:
$\text{tg}\alpha \ge \frac{\frac{mg}{2 T_{max}}}{\sqrt{1 - (\frac{mg}{2 T_{max}})^2}} = \frac{mg}{\sqrt{4T_{max}^2 - (mg)^2}}$
Приравнивая два выражения для $\text{tg}\alpha$, получаем:
$\frac{H-h}{l/2} \ge \frac{mg}{\sqrt{4T_{max}^2 - (mg)^2}}$
Выразим отсюда $H$:
$H-h \ge \frac{l}{2} \cdot \frac{mg}{\sqrt{4T_{max}^2 - (mg)^2}}$
$H \ge h + \frac{mgl}{2\sqrt{4T_{max}^2 - (mg)^2}}$
Подставим числовые значения:
$H \ge 5 + \frac{10 \cdot 10 \cdot 10}{2\sqrt{4 \cdot (500)^2 - (10 \cdot 10)^2}}$
$H \ge 5 + \frac{1000}{2\sqrt{4 \cdot 250000 - 100^2}}$
$H \ge 5 + \frac{1000}{2\sqrt{1000000 - 10000}}$
$H \ge 5 + \frac{1000}{2\sqrt{990000}}$
$H \ge 5 + \frac{500}{\sqrt{990000}} \approx 5 + \frac{500}{994.987}$
$H \ge 5 + 0.5025 \approx 5.5025$ м
Округляя результат, получаем, что высота $H$ должна быть не менее 5,5 м.
Ответ: $H \ge 5,5$ м.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по физике за 10-11 класс, для упражнения номер 9.3 расположенного на странице 65 к задачнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по физике к упражнению №9.3 (с. 65), авторов: Гельфгат (Илья Маркович), Генденштейн (Лев Элевич), Кирик (Леонид Анатольевич), профильный уровень обучения учебного пособия издательства Илекса.