Номер 9.8, страница 67 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Механика. Динамика. 9. Элементы статики. Упражнения - номер 9.8, страница 67.

Условие.

9.8. Если груз лежит на левой чашке неравноплечих весов, его уравновешивают гири массой $m_1 = 40$ г на правой чашке. Если же груз положить на правую чашку, его уравновесят гири массой $m_2 = 10$ г на левой чашке. Какова масса $\text{m}$ груза? Во сколько раз одно плечо весов длиннее другого? Массой самих весов можно пренебречь.

☑ $m = 20$ г. Левое плечо весов вдвое длиннее правого.

Решение. Обозначим $l_1$ и $l_2$ длины соответственно левого и правого плеч рычага. Из условия равновесия рычага $mgl_1 = m_1gl_2$, $mgl_2 = m_2gl_1$. Мы получили два уравнения для трех неизвестных, но нам не нужно находить все неизвестные величины, достаточно найти массу груза и отношение величин $l_1$ и $l_2$. Перемножив уравнения, получим $m = \sqrt{m_1m_2} = 20$ (г), а разделив их друг на друга, получим $l_1/l_2 = \sqrt{m_1/m_2} = 2$.

Решение.

Дано:

$m_1 = 40 \text{ г}$

$m_2 = 10 \text{ г}$

В системе СИ:
$m_1 = 0.04 \text{ кг}$
$m_2 = 0.01 \text{ кг}$

Найти:

$m$ - ?

$\frac{l_1}{l_2}$ - ?

Решение:

Обозначим массу груза как $m$, а длины левого и правого плеч весов как $l_1$ и $l_2$ соответственно. Условие равновесия рычага заключается в равенстве моментов сил, действующих на его плечи. Момент силы определяется как произведение силы на длину плеча ($M = F \cdot l$). В данном случае сила — это вес тела $F = m'g$, где $m'$ — масса тела, а $g$ — ускорение свободного падения.

1. Когда груз массой $m$ находится на левой чашке (плечо $l_1$), а гири массой $m_1$ на правой (плечо $l_2$), условие равновесия имеет вид:

$m \cdot g \cdot l_1 = m_1 \cdot g \cdot l_2$

Сократив $g$, получаем первое уравнение:

$m \cdot l_1 = m_1 \cdot l_2 \quad (1)$

2. Когда груз массой $m$ находится на правой чашке (плечо $l_2$), а гири массой $m_2$ на левой (плечо $l_1$), условие равновесия выглядит так:

$m_2 \cdot g \cdot l_1 = m \cdot g \cdot l_2$

Сократив $g$, получаем второе уравнение:

$m_2 \cdot l_1 = m \cdot l_2 \quad (2)$

Мы получили систему из двух уравнений, из которой найдем искомую массу $m$ и отношение длин плеч $\frac{l_1}{l_2}$.

Какова масса m груза?

Чтобы найти массу $m$, перемножим левые и правые части уравнений (1) и (2):

$(m \cdot l_1) \cdot (m_2 \cdot l_1) = (m_1 \cdot l_2) \cdot (m \cdot l_2)$

$m \cdot m_2 \cdot l_1^2 = m \cdot m_1 \cdot l_2^2$

Так как масса груза $m$ не равна нулю, можно сократить на нее обе части уравнения. Также можно было бы перемножить исходные уравнения с $g$, что привело бы к тому же результату:

$(m \cdot g \cdot l_1) \cdot (m \cdot g \cdot l_2) = (m_1 \cdot g \cdot l_2) \cdot (m_2 \cdot g \cdot l_1)$

$m^2 \cdot g^2 \cdot l_1 \cdot l_2 = m_1 \cdot m_2 \cdot g^2 \cdot l_1 \cdot l_2$

Сократим общие множители $g^2 \cdot l_1 \cdot l_2$:

$m^2 = m_1 \cdot m_2$

Отсюда находим массу $m$ как среднее геометрическое масс $m_1$ и $m_2$:

$m = \sqrt{m_1 \cdot m_2}$

Подставим числовые значения:

$m = \sqrt{40 \text{ г} \cdot 10 \text{ г}} = \sqrt{400 \text{ г}^2} = 20 \text{ г}$

Ответ: Масса груза $m$ равна 20 г.

Во сколько раз одно плечо весов длиннее другого?

Чтобы найти отношение длин плеч $\frac{l_1}{l_2}$, разделим почленно уравнение (1) на уравнение (2):

$\frac{m \cdot l_1}{m_2 \cdot l_1} = \frac{m_1 \cdot l_2}{m \cdot l_2}$

Сократим $l_1$ в левой части и $l_2$ в правой:

$\frac{m}{m_2} = \frac{m_1}{m}$

Это соотношение мы уже использовали для нахождения массы. Чтобы найти отношение плеч, можно также выразить его из любого из уравнений. Например, из уравнения (2):

$m_2 \cdot l_1 = m \cdot l_2 \implies \frac{l_1}{l_2} = \frac{m}{m_2}$

Подставим найденное значение массы $m=20$ г и известное значение $m_2=10$ г:

$\frac{l_1}{l_2} = \frac{20 \text{ г}}{10 \text{ г}} = 2$

Другой способ — это манипулировать уравнениями, чтобы исключить $m$. Из уравнения (1) $m = \frac{m_1 l_2}{l_1}$. Из уравнения (2) $m = \frac{m_2 l_1}{l_2}$. Приравняем правые части:

$\frac{m_1 l_2}{l_1} = \frac{m_2 l_1}{l_2}$

$m_1 l_2^2 = m_2 l_1^2$

$\frac{l_1^2}{l_2^2} = \frac{m_1}{m_2}$

$\frac{l_1}{l_2} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}} = \sqrt{\frac{40 \text{ г}}{10 \text{ г}}} = \sqrt{4} = 2$

Таким образом, левое плечо весов в 2 раза длиннее правого.

Ответ: Левое плечо весов вдвое длиннее правого.