Номер 38, страница 72 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 9. Элементы статики. Динамика. Механика - номер 38, страница 72.

Условие.

O-38. Однородная тонкая пластина имеет форму круга радиусом R, в котором вырезано круглое отверстие радиусом R/2 (см. рисунок). Где находится центр тяжести пластины?

☑ На расстоянии R/6 от центра большого круга (точка C на рисунке).

Решение. Из соображений симметрии следует, что центр тяжести C лежит на прямой $OO_1$ (см. рисунок). Если заполнить отверстие, то центр тяжести окажется в точке O. Значит, эта точка делит отрезок $CO_1$ в отношении, обратном отношению масс пластины с вырезом и «добавленного» круга. Поскольку пластина однородна, масса фигуры пропорциональна ее площади, следовательно, $\frac{OC}{0,5R} = \frac{\pi(R/2)^2}{\pi R^2 - \pi(R/2)^2} = \frac{1}{3}$. Отсюда $OC = R/6$.

Решение.

Дано

Радиус большой пластины: $R$

Радиус вырезанного отверстия: $r = R/2$

Пластина однородная, тонкая.

Найти:

Положение центра тяжести пластины с отверстием.

Решение

Для нахождения центра тяжести (центра масс) воспользуемся методом отрицательных масс. Представим пластину с отверстием как результат наложения двух сплошных дисков:

1. Сплошной диск радиусом $R$ с положительной поверхностной плотностью массы $\sigma$.

2. Сплошной диск радиусом $r = R/2$ с отрицательной поверхностной плотностью массы $-\sigma$, расположенный в месте отверстия.

Введем систему координат. Пусть центр большого диска (точка $O$) находится в начале координат $(0, 0)$. Так как отверстие вырезано, касаясь края большого круга, центр малого диска (точка $O_1$) будет смещен от центра $O$ на расстояние $R - r = R - R/2 = R/2$. Расположим ось $Ox$ вдоль линии, соединяющей центры $O$ и $O_1$. Тогда координаты центров масс дисков будут:

• Центр масс большого диска: $x_1 = 0$.

• Центр масс малого (вырезанного) диска: $x_2 = R/2$.

Массы дисков пропорциональны их площадям. Пусть $\sigma$ — поверхностная плотность материала.

Масса большого диска: $m_1 = \sigma \cdot A_1 = \sigma \pi R^2$.

Масса малого (вырезанного) диска: $m_2 = \sigma \cdot A_2 = \sigma \pi r^2 = \sigma \pi (R/2)^2 = \sigma \frac{\pi R^2}{4}$.

Координата центра масс $x_C$ итоговой пластины находится по формуле для составного тела:

$x_C = \frac{m_1 x_1 - m_2 x_2}{m_1 - m_2}$

Подставим известные значения:

$x_C = \frac{(\sigma \pi R^2) \cdot 0 - (\sigma \frac{\pi R^2}{4}) \cdot \frac{R}{2}}{\sigma \pi R^2 - \sigma \frac{\pi R^2}{4}}$

Сократим общий множитель $\sigma \pi R^2$ в числителе и знаменателе:

$x_C = \frac{0 - \frac{1}{4} \cdot \frac{R}{2}}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{-\frac{R}{8}}{\frac{3}{4}}$

$x_C = -\frac{R}{8} \cdot \frac{4}{3} = -\frac{4R}{24} = -\frac{R}{6}$

Знак «минус» указывает на то, что центр тяжести сместился от центра $O$ в сторону, противоположную вырезанному отверстию. Расстояние до центра тяжести от центра большого круга равно модулю этой координаты, то есть $R/6$.

Ответ: Центр тяжести пластины находится на расстоянии $R/6$ от центра большого круга на линии симметрии, в стороне, противоположной отверстию.