Номер 11.1, страница 77 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Механика. Законы сохранения в механике. 11. Механическая работа. Энергия. Закон сохранения энергии. Упражнения - номер 11.1, страница 77.

Условие.

11.1. Автомобиль массой $M = 2 \text{ т}$ разгоняется с места, въезжая на гору с уклоном $0,02$. Коэффициент сопротивления движению $\mu = 0,05$. Автомобиль набирает скорость $v = 97,2 \text{ км/ч}$ на участке длиной $s = 100 \text{ м}$. Какую среднюю мощность $P_{cp}$ развивает двигатель?

☑ $120 \text{ кВт.}$

Решение. Из условия следует, что ускорение автомобиля $a = \frac{v^2}{2s}$. Поскольку $N = Fv$ и $N_{cp} = Fv_{cp} = Fv/2$, необходимо найти силу тяги $\text{F}$. Уравнение второго закона на Ньютона в проекциях на координатные оси (см. рисунок): $Ma = F - Mg\sin\alpha - F_{тр}$, и $N - Mg\cos\alpha = 0$. Учитывая, что $F_{тр} = \mu N$, находим $F = M\left(\frac{v^2}{2s} + g\sin\alpha + \mu g\cos\alpha\right)$ и подставляем это выражение в приведенную выше формулу для $N_{cp}$. При подстановке числовых значений можно воспользоваться тем, что для малых углов косинус примерно равен единице.

Решение.

Дано:

Масса автомобиля, $M = 2 \text{ т} = 2000 \text{ кг}$

Начальная скорость, $v_0 = 0 \text{ м/с}$ (разгоняется с места)

Уклон горы, $i = 0,02$

Коэффициент сопротивления движению, $\mu = 0,05$

Конечная скорость, $v = 97,2 \text{ км/ч} = \frac{97,2}{3,6} \text{ м/с} = 27 \text{ м/с}$

Длина участка, $s = 100 \text{ м}$

Найти:

Среднюю мощность двигателя, $P_{ср}$

Решение:

Средняя мощность, развиваемая двигателем, определяется как произведение постоянной силы тяги $F$ на среднюю скорость движения $v_{ср}$:

$P_{ср} = F \cdot v_{ср}$

Поскольку автомобиль движется равноускоренно из состояния покоя, его средняя скорость равна:

$v_{ср} = \frac{v_0 + v}{2} = \frac{0 + 27 \text{ м/с}}{2} = 13,5 \text{ м/с}$

Для нахождения силы тяги $F$ воспользуемся вторым законом Ньютона. Согласно рисунку в условии, направим ось $Ox$ вдоль наклонной плоскости вверх, а ось $Oy$ — перпендикулярно ей. Запишем уравнения движения в проекциях на оси:

$Ox: Ma = F - F_{тр} - Mg\sin\alpha$

$Oy: 0 = N - Mg\cos\alpha \implies N = Mg\cos\alpha$

Здесь $a$ — ускорение автомобиля, $F_{тр}$ — сила сопротивления движению, $N$ — сила нормальной реакции опоры, $\alpha$ — угол наклона горы.

Сила сопротивления движению равна $F_{тр} = \mu N = \mu Mg\cos\alpha$.

Подставив это в уравнение для оси $Ox$, выразим силу тяги $F$:

$F = Ma + Mg\sin\alpha + \mu Mg\cos\alpha = M(a + g(\sin\alpha + \mu\cos\alpha))$

Ускорение $a$ найдем из формулы для равноускоренного движения без начальной скорости:

$v^2 = 2as \implies a = \frac{v^2}{2s}$

Так как уклон $i = 0,02$, для малых углов можно принять $\sin\alpha \approx i = 0,02$ и $\cos\alpha \approx 1$.

Теперь можем рассчитать все необходимые величины. Примем ускорение свободного падения $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$.

Вычислим ускорение:

$a = \frac{(27 \text{ м/с})^2}{2 \cdot 100 \text{ м}} = \frac{729}{200} \text{ м/с}^2 = 3,645 \text{ м/с}^2$

Вычислим силу тяги:

$F = 2000 \text{ кг} \cdot (3,645 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} + 9,8 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot (0,02 + 0,05 \cdot 1)) = 2000 \cdot (3,645 + 9,8 \cdot 0,07) = 2000 \cdot (3,645 + 0,686) = 2000 \cdot 4,331 = 8662 \text{ Н}$

Наконец, вычислим среднюю мощность:

$P_{ср} = F \cdot v_{ср} = 8662 \text{ Н} \cdot 13,5 \text{ м/с} = 116937 \text{ Вт}$

Переведем мощность в киловатты:

$P_{ср} = 116,937 \text{ кВт} \approx 117 \text{ кВт}$

Полученный результат близок к 120 кВт. Если округлить результат до двух значащих цифр (в соответствии с точностью некоторых исходных данных, например, $\mu = 0,05$), то получим 120 кВт. Это соответствует ответу, отмеченному в условии.

Ответ: $P_{ср} \approx 120$ кВт.