Номер 10.2, страница 73 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Механика. Законы сохранения в механике. 10. Импульс. Закон сохранения импульса. Упражнения - номер 10.2, страница 73.

Условие.

10.2. На сколько сместится неподвижная лодка массой $M = 280$ кг, если человек массой $m = 70$ кг перейдет с ее носа на корму? Расстояние от носа до кормы $l = 5$ м, сопротивление воды пренебрежимо мало.

☑ 1 м.

Решение. Человек и лодка движутся в противоположные стороны. Согласно закону сохранения импульса $mv_{\text{ч}} = Mv_{\text{л}}$, где $v_{\text{ч}}$ и $v_{\text{л}}$ — модули скоростей человека и лодки относительно берега. Отсюда следует, что в любой момент времени $v_{\text{ч}}/v_{\text{л}} = M/m$. Поэтому $l_{\text{ч}}/l_{\text{л}} = v_{\text{ч}}/v_{\text{л}} = M/m$, где $l_{\text{ч}}$ и $l_{\text{л}}$ — модули перемещений человека и лодки относительно берега. Поскольку $l_{\text{ч}} + l_{\text{л}} = l$, находим $l_{\text{л}} = ml/(M + m) = 1 \text{ (м)}$.

Решение.

Дано:
Масса лодки: $M = 280$ кг
Масса человека: $m = 70$ кг
Расстояние, которое человек проходит по лодке (от носа до кормы): $l = 5$ м

Все данные приведены в системе СИ.

Найти:
Смещение лодки $s$.

Решение:
Рассмотрим систему, состоящую из лодки и человека. Так как по условию задачи сопротивлением воды можно пренебречь, в горизонтальном направлении на систему не действуют внешние силы. Это означает, что система "лодка + человек" является замкнутой по горизонтали. Изначально лодка и человек находились в состоянии покоя, следовательно, суммарный импульс системы был равен нулю. Согласно закону сохранения импульса, он останется равным нулю и во время движения человека. Это также означает, что положение центра масс системы не изменится относительно берега.

Пусть лодка сместилась на расстояние $s$ относительно берега. Выберем ось $Ox$ так, чтобы она была направлена в сторону движения лодки. Тогда смещение лодки будет равно $\Delta x_л = s$.

Человек перемещается по лодке на расстояние $l$ в направлении, противоположном движению лодки. Его перемещение относительно лодки равно $\Delta x_{ч/л} = -l$.

Перемещение человека относительно берега $\Delta x_ч$ равно сумме перемещения лодки относительно берега и перемещения человека относительно лодки:

$\Delta x_ч = \Delta x_л + \Delta x_{ч/л} = s - l$

Условие того, что центр масс системы не смещается, можно записать в виде:

$M \cdot \Delta x_л + m \cdot \Delta x_ч = 0$

Подставим выражения для смещений в это уравнение:

$M \cdot s + m \cdot (s - l) = 0$

Раскроем скобки и выразим искомое смещение лодки $s$:

$M \cdot s + m \cdot s - m \cdot l = 0$

$s \cdot (M + m) = m \cdot l$

$s = \frac{m \cdot l}{M + m}$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи:

$s = \frac{70 \text{ кг} \cdot 5 \text{ м}}{280 \text{ кг} + 70 \text{ кг}} = \frac{350 \text{ кг} \cdot \text{м}}{350 \text{ кг}} = 1 \text{ м}$

Ответ: $1$ м.