Номер 40, страница 75 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Авторы: Гельфгат И. М., Генденштейн Л. Э., Кирик Л. А.
Тип: Задачник
Издательство: Илекса
Год издания: 2008 - 2025
Уровень обучения: профильный
Цвет обложки: красный лупа, парень едет на велосипеде
ISBN: 978-5-89237-252-7
Популярные ГДЗ в 10 классе
Олимпиадные задачи. 10. Импульс. Закон сохранения импульса. Законы сохранения в механике. Механика - номер 40, страница 75.
№40 (с. 75)
Условие. №40 (с. 75)
скриншот условия

O-40. На конце соломинки массой $\text{M}$ и небольшой длины $\text{l}$, лежащей на гладком столе, сидит кузнечик, масса которого $\text{m}$. С какой наименьшей скоростью $\text{v}$ он должен прыгнуть, чтобы попасть на другой конец соломинки? Трением между столом и соломинкой пренебречь, соломинка не должна вращаться.
☑ $v = \sqrt{\frac{M}{m+M}} gl.$
Решение. Если скорость кузнечика направлена под углом 45° к горизонту, то $v_\text{г} = v_\text{в}$. Оттолкнувшись от соломинки, кузнечик сообщит ей импульс, проекция которого на горизонтальное направление $Mv_c$ равна $mv_\text{г}$. В результате соломинка переместится на расстояние $s_1 = v_c t$ в направлении, противоположном $v_c$. Кузнечик за это же время пролетит в горизонтальном направлении расстояние $s_2 = v_\text{г} t$ ($s_2 < l$). Чтобы кузнечик попал на конец соломинки, необходимо выполнение следующего условия: $s_1 + s_2 = l$.
Учитывая, что полет кузнечика продолжается $t = \frac{2v_\text{в}}{g}$, а скорость соломинки $v_c = \frac{m}{M} v_\text{г}$, получим $\frac{m}{M} v_\text{г} \frac{2v_\text{в}}{g} + v_\text{г} \frac{2v_\text{в}}{g} = l$.
Поскольку $v_\text{г} = v_\text{в} = \frac{v}{\sqrt{2}}$, то $\frac{v^2}{g} \frac{m+M}{M} = l$, откуда $v = \sqrt{\frac{M}{m+M}} gl$.
Решение. №40 (с. 75)
Дано:
Масса соломинки: $M$
Масса кузнечика: $m$
Длина соломинки: $l$
Ускорение свободного падения: $g$
Найти:
Минимальную скорость $v$, с которой должен прыгнуть кузнечик.
Решение:
Рассмотрим систему, состоящую из кузнечика и соломинки. Так как по условию трением между столом и соломинкой можно пренебречь, система является замкнутой в горизонтальном направлении. Следовательно, для горизонтальной оси выполняется закон сохранения импульса.
В начальный момент система покоится, поэтому ее суммарный импульс равен нулю. Пусть кузнечик прыгает со скоростью $\vec{v}$, составляющей угол $\alpha$ с горизонтом. Горизонтальная составляющая скорости кузнечика относительно стола равна $v_x = v \cos\alpha$, а вертикальная – $v_y = v \sin\alpha$.
В результате толчка соломинка начнет двигаться в противоположном направлении со скоростью $V_c$. Запишем закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось:
$0 = m v_x + M V_c$
Отсюда выразим скорость соломинки:
$V_c = - \frac{m}{M} v_x$
Знак «минус» указывает на то, что соломинка движется в направлении, противоположном горизонтальному движению кузнечика.
Время полета кузнечика $t$ определяется его движением по вертикали. Кузнечик взлетает с соломинки и приземляется на нее, то есть на ту же высоту. Время полета равно:
$t = \frac{2v_y}{g}$
За время полета $t$ кузнечик пролетит по горизонтали расстояние $s_k$ относительно стола:
$s_k = v_x t$
За это же время соломинка сместится в обратном направлении на расстояние $s_c$:
$s_c = |V_c| t = \frac{m}{M} v_x t$
Чтобы кузнечик приземлился на другой конец соломинки, суммарное горизонтальное расстояние, на которое они разлетятся друг от друга, должно быть равно длине соломинки $l$.
$s_k + s_c = l$
Подставим выражения для $s_k$ и $s_c$:
$v_x t + \frac{m}{M} v_x t = l$
$v_x t (1 + \frac{m}{M}) = l \implies v_x t (\frac{M+m}{M}) = l$
Теперь подставим в это уравнение выражение для времени полета $t = \frac{2v_y}{g}$:
$v_x (\frac{2v_y}{g}) (\frac{M+m}{M}) = l$
Отсюда получаем связь между компонентами скорости:
$v_x v_y = \frac{glM}{2(m+M)}$
Нам нужно найти минимальную начальную скорость $v$. Величина скорости связана с ее компонентами соотношением $v^2 = v_x^2 + v_y^2$. Требуется минимизировать $v^2$ при условии, что произведение $v_x v_y$ является константой. Обозначим эту константу $C = \frac{glM}{2(m+M)}$.
Минимум суммы $v_x^2 + v_y^2$ при постоянном произведении $v_x v_y = C$ достигается, когда слагаемые равны, то есть $v_x^2 = v_y^2$, или $v_x = v_y$ (так как проекции скорости на оси положительны). Это соответствует углу прыжка $\alpha = 45^\circ$, поскольку $\tan\alpha = \frac{v_y}{v_x} = 1$.
При условии $v_x = v_y$ получаем:
$v_x^2 = \frac{glM}{2(m+M)}$
Тогда квадрат минимальной скорости равен:
$v^2 = v_x^2 + v_y^2 = 2v_x^2 = 2 \cdot \frac{glM}{2(m+M)} = \frac{glM}{m+M}$
Следовательно, наименьшая скорость, с которой должен прыгнуть кузнечик, равна:
$v = \sqrt{\frac{M}{m+M}gl}$
Ответ: $v = \sqrt{\frac{M}{m+M}gl}$
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по физике за 10-11 класс, для упражнения номер 40 расположенного на странице 75 к задачнику 2008 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по физике к упражнению №40 (с. 75), авторов: Гельфгат (Илья Маркович), Генденштейн (Лев Элевич), Кирик (Леонид Анатольевич), профильный уровень обучения учебного пособия издательства Илекса.