Номер 40, страница 75 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Механика. Законы сохранения в механике. 10. Импульс. Закон сохранения импульса. Олимпиадные задачи - номер 40, страница 75.

Условие.

O-40. На конце соломинки массой $\text{M}$ и небольшой длины $\text{l}$, лежащей на гладком столе, сидит кузнечик, масса которого $\text{m}$. С какой наименьшей скоростью $\text{v}$ он должен прыгнуть, чтобы попасть на другой конец соломинки? Трением между столом и соломинкой пренебречь, соломинка не должна вращаться.

☑ $v = \sqrt{\frac{M}{m+M}} gl.$

Решение. Если скорость кузнечика направлена под углом 45° к горизонту, то $v_\text{г} = v_\text{в}$. Оттолкнувшись от соломинки, кузнечик сообщит ей импульс, проекция которого на горизонтальное направление $Mv_c$ равна $mv_\text{г}$. В результате соломинка переместится на расстояние $s_1 = v_c t$ в направлении, противоположном $v_c$. Кузнечик за это же время пролетит в горизонтальном направлении расстояние $s_2 = v_\text{г} t$ ($s_2 < l$). Чтобы кузнечик попал на конец соломинки, необходимо выполнение следующего условия: $s_1 + s_2 = l$.

Учитывая, что полет кузнечика продолжается $t = \frac{2v_\text{в}}{g}$, а скорость соломинки $v_c = \frac{m}{M} v_\text{г}$, получим $\frac{m}{M} v_\text{г} \frac{2v_\text{в}}{g} + v_\text{г} \frac{2v_\text{в}}{g} = l$.

Поскольку $v_\text{г} = v_\text{в} = \frac{v}{\sqrt{2}}$, то $\frac{v^2}{g} \frac{m+M}{M} = l$, откуда $v = \sqrt{\frac{M}{m+M}} gl$.

Решение.

Дано:
Масса соломинки: $M$
Масса кузнечика: $m$
Длина соломинки: $l$
Ускорение свободного падения: $g$

Найти:
Минимальную скорость $v$, с которой должен прыгнуть кузнечик.

Решение:

Рассмотрим систему, состоящую из кузнечика и соломинки. Так как по условию трением между столом и соломинкой можно пренебречь, система является замкнутой в горизонтальном направлении. Следовательно, для горизонтальной оси выполняется закон сохранения импульса.

В начальный момент система покоится, поэтому ее суммарный импульс равен нулю. Пусть кузнечик прыгает со скоростью $\vec{v}$, составляющей угол $\alpha$ с горизонтом. Горизонтальная составляющая скорости кузнечика относительно стола равна $v_x = v \cos\alpha$, а вертикальная – $v_y = v \sin\alpha$.

В результате толчка соломинка начнет двигаться в противоположном направлении со скоростью $V_c$. Запишем закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось:

$0 = m v_x + M V_c$

Отсюда выразим скорость соломинки:

$V_c = - \frac{m}{M} v_x$

Знак «минус» указывает на то, что соломинка движется в направлении, противоположном горизонтальному движению кузнечика.

Время полета кузнечика $t$ определяется его движением по вертикали. Кузнечик взлетает с соломинки и приземляется на нее, то есть на ту же высоту. Время полета равно:

$t = \frac{2v_y}{g}$

За время полета $t$ кузнечик пролетит по горизонтали расстояние $s_k$ относительно стола:

$s_k = v_x t$

За это же время соломинка сместится в обратном направлении на расстояние $s_c$:

$s_c = |V_c| t = \frac{m}{M} v_x t$

Чтобы кузнечик приземлился на другой конец соломинки, суммарное горизонтальное расстояние, на которое они разлетятся друг от друга, должно быть равно длине соломинки $l$.

$s_k + s_c = l$

Подставим выражения для $s_k$ и $s_c$:

$v_x t + \frac{m}{M} v_x t = l$

$v_x t (1 + \frac{m}{M}) = l \implies v_x t (\frac{M+m}{M}) = l$

Теперь подставим в это уравнение выражение для времени полета $t = \frac{2v_y}{g}$:

$v_x (\frac{2v_y}{g}) (\frac{M+m}{M}) = l$

Отсюда получаем связь между компонентами скорости:

$v_x v_y = \frac{glM}{2(m+M)}$

Нам нужно найти минимальную начальную скорость $v$. Величина скорости связана с ее компонентами соотношением $v^2 = v_x^2 + v_y^2$. Требуется минимизировать $v^2$ при условии, что произведение $v_x v_y$ является константой. Обозначим эту константу $C = \frac{glM}{2(m+M)}$.

Минимум суммы $v_x^2 + v_y^2$ при постоянном произведении $v_x v_y = C$ достигается, когда слагаемые равны, то есть $v_x^2 = v_y^2$, или $v_x = v_y$ (так как проекции скорости на оси положительны). Это соответствует углу прыжка $\alpha = 45^\circ$, поскольку $\tan\alpha = \frac{v_y}{v_x} = 1$.

При условии $v_x = v_y$ получаем:

$v_x^2 = \frac{glM}{2(m+M)}$

Тогда квадрат минимальной скорости равен:

$v^2 = v_x^2 + v_y^2 = 2v_x^2 = 2 \cdot \frac{glM}{2(m+M)} = \frac{glM}{m+M}$

Следовательно, наименьшая скорость, с которой должен прыгнуть кузнечик, равна:

$v = \sqrt{\frac{M}{m+M}gl}$

Ответ: $v = \sqrt{\frac{M}{m+M}gl}$