Номер 37, страница 71 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Механика. Динамика. 9. Элементы статики. Олимпиадные задачи - номер 37, страница 71.

Условие.

О-37. Десять шариков с массами 100 г, 200 г, 300 г, ..., 1000 г укреплены в указанном порядке на невесомом стержне длиной 90 см так, что расстояние между центрами соседних шариков равно 10 см. Найдите положение центра масс системы.

☑ Центр масс системы совпадает с центром шарика массой 700 г.

Решение. В однородном поле тяготения центр масс системы совпадает с центром тяжести. Поэтому найдем точку, в которой нужно разместить под стержнем опору, чтобы стержень находился в равновесии (см. рисунок).

Поместим начало координат в центре шарика 1 и будем вычислять моменты сил относительно этой точки. Тогда два условия равновесия принимают вид:

$N - \sum_{i=1}^{10} m_i g = 0, N x_c - \sum_{i=1}^{10} m_i g x_i = 0$. Отсюда $x_c = \frac{\sum m_i x_i}{\sum m_i}$.

Подставляя числовые значения, получаем $x_c = 60$ см.

Решение.

Дано:

Количество шариков, $n=10$.

Массы шариков: $m_i = 100 \cdot i$ г, где $i = 1, 2, ..., 10$.

Расстояние между центрами соседних шариков, $d = 10$ см.

Стержень невесомый.

Перевод в систему СИ:
$m_i = 0.1 \cdot i$ кг.
$d = 0.1$ м.

Найти:

Положение центра масс системы, $x_c$.

Решение:

Для определения положения центра масс введем систему координат. Поместим начало отсчета (x=0) в центр первого шарика ($m_1 = 100$ г) и направим ось X вдоль стержня. В этой системе координата i-го шарика определяется формулой $x_i = d \cdot (i-1)$.

Координата центра масс системы материальных точек вычисляется по формуле:

$x_c = \frac{\sum_{i=1}^{n} m_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} m_i}$

Найдем знаменатель - общую массу системы M:

$M = \sum_{i=1}^{10} m_i = \sum_{i=1}^{10} (0.1 \cdot i) = 0.1 \sum_{i=1}^{10} i$

Сумма первых 10 членов арифметической прогрессии равна:

$\sum_{i=1}^{10} i = \frac{10(10+1)}{2} = 55$

Следовательно, общая масса системы:

$M = 0.1 \cdot 55 = 5.5$ кг.

Теперь вычислим числитель - сумму произведений масс на их координаты:

$\sum_{i=1}^{10} m_i x_i = \sum_{i=1}^{10} (0.1 \cdot i) \cdot (0.1 \cdot (i-1)) = 0.01 \sum_{i=1}^{10} i(i-1)$

$= 0.01 \sum_{i=1}^{10} (i^2 - i) = 0.01 \left( \sum_{i=1}^{10} i^2 - \sum_{i=1}^{10} i \right)$

Сумма квадратов первых n натуральных чисел находится по формуле $\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$. Для n=10:

$\sum_{i=1}^{10} i^2 = \frac{10(10+1)(2 \cdot 10+1)}{6} = \frac{10 \cdot 11 \cdot 21}{6} = 385$

Подставляя известные значения сумм, получаем:

$\sum_{i=1}^{10} m_i x_i = 0.01 \cdot (385 - 55) = 0.01 \cdot 330 = 3.3$ кг·м.

Наконец, находим координату центра масс:

$x_c = \frac{3.3 \text{ кг·м}}{5.5 \text{ кг}} = \frac{33}{55} \text{ м} = \frac{3}{5} \text{ м} = 0.6$ м.

В сантиметрах это составит $0.6 \text{ м} \cdot 100 \frac{\text{см}}{\text{м}} = 60$ см.

Ответ: Центр масс системы находится на расстоянии 60 см от центра первого шарика (массой 100 г).

Центр масс системы совпадает с центром шарика массой 700 г.

Проверим данное утверждение. Шарик с массой 700 г является седьмым в ряду ($m_7 = 100 \cdot 7 = 700$ г). Его координата в выбранной нами системе отсчета равна:

$x_7 = d \cdot (7-1) = 6d = 6 \cdot 10 \text{ см} = 60$ см.

Так как вычисленная нами координата центра масс $x_c = 60$ см совпадает с координатой седьмого шарика $x_7 = 60$ см, то утверждение является верным.

Ответ: Утверждение верно.