Номер 41, страница 76 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Механика. Законы сохранения в механике. 10. Импульс. Закон сохранения импульса. Олимпиадные задачи - номер 41, страница 76.

Условие.

O-41. Деревянный брусок падает вертикально со скоростью $v=3 \text{ м/с}$ на горизонтальную ленту транспортера, движущегося со скоростью $u=1 \text{ м/с}$. Брусок после удара не подскакивает. При каком коэффициенте трения брусок не будет проскальзывать по транспортеру? Считайте, что удар длится очень короткое время.

☑ $\mu > 0,33$.

Решение. При ударе на брусок действует сила упругости $\vec{N}$ и сила трения $\vec{F}_{\text{тр}}$ (так как согласно условию удар длится очень короткое время, средняя сила удара достаточно велика, вследствие чего по сравнению с указанными силами силой тяжести можно пренебречь). Если брусок массой $\text{m}$ при этом не проскальзывает, то $m\vec{u} - m\vec{v} = (\vec{N} + \vec{F}_{\text{тр}})\Delta t$. Проецируя это уравнение на горизонтальное и вертикальное направления, получаем $mu = F_{\text{тр}}\Delta t$, $mv = N\Delta t$. Таким образом, $F_{\text{тр}}/N = u/v$; следовательно, $\mu \ge u/v$.

Решение.

Дано

Вертикальная скорость падения бруска: $v = 3$ м/c

Скорость движения ленты транспортера: $u = 1$ м/c

Все величины представлены в системе СИ.

Найти

Минимальный коэффициент трения $\mu$, при котором брусок не будет проскальзывать по транспортеру.

Решение

Рассмотрим процесс удара бруска о ленту транспортера. Удар происходит за очень короткий промежуток времени $\Delta t$. За это время на брусок действуют значительные по величине силы: сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$ со стороны ленты, направленная вертикально вверх, и сила трения $\vec{F}_{тр}$, направленная горизонтально в сторону движения ленты. Поскольку время удара очень мало, импульсом силы тяжести ($m\vec{g}\Delta t$) можно пренебречь по сравнению с импульсами сил $\vec{N}$ и $\vec{F}_{тр}$.

Воспользуемся вторым законом Ньютона в импульсной форме:

$m\Delta\vec{v} = \vec{F}_{ср} \Delta t$

где $m$ – масса бруска, $\Delta\vec{v} = \vec{v}_{кон} - \vec{v}_{нач}$ – изменение скорости бруска, а $\vec{F}_{ср}$ – средняя равнодействующая сила, действующая на брусок во время удара. В нашем случае $\vec{F}_{ср} \approx \vec{N} + \vec{F}_{тр}$.

Начальная скорость бруска имеет только вертикальную составляющую: $\vec{v}_{нач} = (0, -v)$.

Конечная скорость бруска (после удара, без проскальзывания) равна скорости ленты: $\vec{v}_{кон} = (u, 0)$.

Запишем уравнение в проекциях на горизонтальную ось X и вертикальную ось Y.

Проекция на ось X:

$m(v_{кон, x} - v_{нач, x}) = F_{тр}\Delta t$

$m(u - 0) = F_{тр}\Delta t \implies mu = F_{тр}\Delta t$

Проекция на ось Y:

$m(v_{кон, y} - v_{нач, y}) = N\Delta t$

$m(0 - (-v)) = N\Delta t \implies mv = N\Delta t$

Брусок не будет проскальзывать по транспортеру, если действующая на него сила трения не превышает максимальную силу трения покоя (в предельном случае – силу трения скольжения):

$F_{тр} \le \mu N$

Из полученных ранее уравнений для импульсов выразим силы $F_{тр}$ и $N$:

$F_{тр} = \frac{mu}{\Delta t}$

$N = \frac{mv}{\Delta t}$

Подставим эти выражения в условие отсутствия проскальзывания:

$\frac{mu}{\Delta t} \le \mu \frac{mv}{\Delta t}$

Сократив в неравенстве положительные величины $m$ и $\Delta t$, получим:

$u \le \mu v$

Отсюда находим условие для коэффициента трения:

$\mu \ge \frac{u}{v}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$\mu \ge \frac{1 \text{ м/с}}{3 \text{ м/с}}$

$\mu \ge \frac{1}{3}$

$\mu \ge 0.333...$

Следовательно, брусок не будет проскальзывать, если коэффициент трения будет не меньше $1/3$.

Ответ: $\mu \ge 1/3 \approx 0.33$.