Номер 11.4, страница 78 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Механика. Законы сохранения в механике. 11. Механическая работа. Энергия. Закон сохранения энергии. Упражнения - номер 11.4, страница 78.

Условие.

11.4. Человек прыгает в воду с высоты $h = 10 \text{ м}$. На какую глубину $\text{H}$ он бы при этом погрузился, если бы силы сопротивления воздуха и воды исчезли? Масса человека $m = 60 \text{ кг}$, объем его тела $V = 66 \text{ л}$.

☑ $H = 100 \text{ м}$.

Решение. Суммарная работа всех приложенных к телу сил равна изменению его кинетической энергии. В данном случае и в верхней, и в нижней точках траектории кинетическая энергия человека равна нулю, поэтому $mgh - (F_A - mg)H = 0$, где $F_A = \rho gV$.

Отсюда $H = \frac{m}{\rho V - m}h = 100 \text{ (м)}$. Неправдоподобность полученного ответа свидетельствует о том, что силы сопротивления (особенно при движении в воде) велики и пренебрегать ими нельзя.

Решение.

Дано

$h = 10$ м
$m = 60$ кг
$V = 66$ л
$\rho = 1000$ кг/м³ (плотность воды)
$g \approx 9.8$ м/с² (ускорение свободного падения)

Перевод в систему СИ:
$V = 66 \text{ л} = 66 \text{ дм}^3 = 66 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 = 0.066 \text{ м}^3$

Найти:

$H$ – ?

Решение

Воспользуемся теоремой об изменении кинетической энергии: суммарная работа всех приложенных к телу сил равна изменению его кинетической энергии ($A_{сумм} = \Delta E_k$).

Человек начинает движение с высоты $h$ из состояния покоя и останавливается на глубине $H$. Таким образом, его начальная и конечная кинетические энергии равны нулю ($E_{k_{нач}} = 0$, $E_{k_{кон}} = 0$). Следовательно, изменение кинетической энергии также равно нулю: $\Delta E_k = E_{k_{кон}} - E_{k_{нач}} = 0$.

Это означает, что суммарная работа всех сил, действующих на человека на всём пути, равна нулю: $A_{сумм} = 0$.

На человека действуют две силы (пренебрегая силами сопротивления):
1. Сила тяжести $F_т = mg$, направленная вертикально вниз.
2. Выталкивающая (Архимедова) сила $F_А$, действующая только в воде и направленная вертикально вверх.

Работа силы тяжести $A_т$ совершается на всем пути движения $h+H$. Так как направление силы тяжести совпадает с направлением перемещения, её работа положительна:$A_т = mg(h+H)$

Работа Архимедовой силы $A_А$ совершается только при движении в воде на глубину $H$. Так как направление этой силы противоположно направлению перемещения, её работа отрицательна. Величина Архимедовой силы равна $F_А = \rho g V$, где $\rho$ – плотность воды.$A_А = -F_А H = -\rho g V H$

Суммарная работа равна алгебраической сумме работ этих сил:$A_{сумм} = A_т + A_А = mg(h+H) - \rho g V H$

Приравнивая суммарную работу к нулю, получаем уравнение:$mg(h+H) - \rho g V H = 0$

Раскроем скобки и выразим искомую глубину $H$:$mgh + mgH - \rho g V H = 0$$mgh = \rho g V H - mgH$$mgh = H(\rho g V - mg)$

Сократив обе части уравнения на $g$, получим:$mh = H(\rho V - m)$

Отсюда формула для расчёта глубины погружения:$H = \frac{mh}{\rho V - m}$

Подставим числовые значения:$H = \frac{60 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м}}{1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 0.066 \text{ м}^3 - 60 \text{ кг}} = \frac{600 \text{ кг} \cdot \text{м}}{66 \text{ кг} - 60 \text{ кг}} = \frac{600 \text{ кг} \cdot \text{м}}{6 \text{ кг}} = 100 \text{ м}$

Ответ: $H = 100$ м.