Номер 10.3, страница 73 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Механика. Законы сохранения в механике. 10. Импульс. Закон сохранения импульса. Упражнения - номер 10.3, страница 73.

Условие.

10.3. Мяч массой $m = 300$ г упал с высоты $H = 1,23$ м на асфальт и подскочил на ту же высоту. Продолжительность удара об асфальт $t = 0,01$ с. Найдите среднюю силу удара $F_{cp}$. Как изменится эта сила, если мяч ударится о твердую поверхность, наклоненную под углом $\alpha = 30^{\circ}$ к горизонту? Какой будет $F_{cp}$, если в обоих случаях заменить мяч пластилиновым шаром такой же массы? Продолжительность удара считайте во всех случаях одинаковой.

☑ Для мяча $F_{cp} = 32$ Н, в случае наклонной поверхности $F_{cp} = 28$ Н. Для пластилинового шара $F_{cp} = 180$ Н в обоих случаях.

Решение. Судя по высоте подскока мяча, удар об асфальт можно считать упругим: $\bar{v} = -\bar{v}_0$ ($\bar{v}_0$ — скорость мяча непосредственно перед ударом, $\bar{v}$ — после удара).

Из второго закона Ньютона следует $(\vec{F}_{cp} + m\vec{g})\cdot t = m\vec{v} - m\vec{v}_0$.

Учитывая, что $v = v_0 = \sqrt{2gH}$, получаем $F_{cp} = \frac{2m\sqrt{2gH}}{t} + mg = 32$ (Н).

Удар пластилинового шара неупругий $(v = 0)$, поэтому $F_{cp} = \frac{m\sqrt{2gH}}{t} + mg = 18$ (Н).

Для пластилинового шара этот ответ остается в силе и при ударе о наклонную поверхность. В случае же отскока мяча от наклонной поверхности (см. рисунок) сила упругости направлена нормально к поверхности, а $v_y = -v_{0y}$. Проецируя векторное равенство на ось $\text{y}$, находим $F_{cp} = m \cos \alpha \left( \frac{2\sqrt{2gH}}{t} + g \right) = 28$ (Н).

Заметим, что при $H \gg gt^2$ слагаемым $mg$ в выражениях для $F_{cp}$ можно было бы пренебречь.

Решение.

Дано:

$m = 300$ г

$H = 1,23$ м

$t = 0,01$ с

$\alpha = 30^\circ$

Перевод в систему СИ:

$m = 0,3$ кг

Найти:

$F_{ср1}$ - среднюю силу удара мяча об асфальт.

$F_{ср2}$ - среднюю силу удара мяча о наклонную поверхность.

$F_{ср3}$ - среднюю силу удара пластилинового шара об асфальт.

$F_{ср4}$ - среднюю силу удара пластилинового шара о наклонную поверхность.

Решение:

Запишем второй закон Ньютона в импульсной форме. Суммарный импульс силы, действующей на тело, равен изменению импульса тела:

$(\vec{F}_{ср} + m\vec{g}) t = \Delta \vec{p} = m\vec{v} - m\vec{v}_0$

Здесь $\vec{F}_{ср}$ — средняя сила реакции опоры (сила удара), $m\vec{g}$ — сила тяжести, $t$ — время удара, $\vec{v}_0$ — скорость тела непосредственно перед ударом, а $\vec{v}$ — скорость непосредственно после удара.

Скорость мяча перед ударом найдем из закона сохранения энергии (или формулы для свободного падения без начальной скорости):

$mgH = \frac{mv_0^2}{2} \implies v_0 = \sqrt{2gH}$

Примем ускорение свободного падения $g \approx 9,8$ м/с².

$v_0 = \sqrt{2 \cdot 9,8 \, \text{м/с}^2 \cdot 1,23 \, \text{м}} = \sqrt{24,108} \approx 4,91$ м/с.

1. Средняя сила удара мяча об асфальт (горизонтальная поверхность)

По условию, мяч подскочил на ту же высоту, значит, удар был упругим. Скорость после отскока равна по модулю скорости перед ударом, но направлена в противоположную сторону: $v = v_0$.

Направим ось OY вертикально вверх. Тогда проекция начальной скорости $v_{0y} = -v_0$, а конечной $v_y = v_0$. Проекции сил: $F_{ср}$ и $-mg$.

$(F_{ср1} - mg)t = mv_y - mv_{0y} = m(v_0) - m(-v_0) = 2mv_0$

Отсюда выражаем среднюю силу удара:

$F_{ср1} = \frac{2mv_0}{t} + mg = \frac{2m\sqrt{2gH}}{t} + mg$

$F_{ср1} = \frac{2 \cdot 0,3 \, \text{кг} \cdot 4,91 \, \text{м/с}}{0,01 \, \text{с}} + 0,3 \, \text{кг} \cdot 9,8 \, \text{м/с}^2 = 294,6 \, \text{Н} + 2,94 \, \text{Н} \approx 297,5$ Н.

Ответ: Средняя сила удара мяча об асфальт составляет $F_{ср1} \approx 297,5$ Н.

2. Средняя сила удара мяча о наклонную поверхность

Направим ось OY перпендикулярно наклонной поверхности (как на рисунке в условии). Сила реакции опоры $\vec{F}_{ср2}$ будет направлена вдоль этой оси. Удар является упругим, поэтому компонента скорости, перпендикулярная поверхности, меняет знак, а параллельная (в отсутствие трения) остается неизменной.

Начальная скорость $\vec{v}_0$ направлена вертикально вниз. Угол между вектором $\vec{v}_0$ и осью OY равен $\alpha$.

Проекция начальной скорости на ось OY: $v_{0y} = -v_0 \cos\alpha$.

Проекция конечной скорости на ось OY: $v_y = v_0 \cos\alpha$.

Проекция силы тяжести на ось OY: $(m\vec{g})_y = -mg \cos\alpha$.

Запишем второй закон Ньютона в проекции на ось OY:

$(F_{ср2} - mg\cos\alpha)t = mv_y - mv_{0y} = m(v_0\cos\alpha) - m(-v_0\cos\alpha) = 2mv_0\cos\alpha$

$F_{ср2} = \frac{2mv_0\cos\alpha}{t} + mg\cos\alpha = ( \frac{2m\sqrt{2gH}}{t} + mg ) \cos\alpha$

$F_{ср2} = (294,6 \, \text{Н} + 2,94 \, \text{Н}) \cdot \cos(30^\circ) = 297,54 \, \text{Н} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 257,7$ Н.

Ответ: При ударе о наклонную поверхность сила уменьшится и составит $F_{ср2} \approx 257,7$ Н.

3. Средняя сила удара пластилинового шара об асфальт (горизонтальная поверхность)

Удар пластилинового шара является абсолютно неупругим. После удара шар останавливается, его конечная скорость $v=0$.

Используем ту же формулу в проекции на ось OY, направленную вверх:

$(F_{ср3} - mg)t = mv_y - mv_{0y} = m(0) - m(-v_0) = mv_0$

$F_{ср3} = \frac{mv_0}{t} + mg = \frac{m\sqrt{2gH}}{t} + mg$

$F_{ср3} = \frac{0,3 \, \text{кг} \cdot 4,91 \, \text{м/с}}{0,01 \, \text{с}} + 0,3 \, \text{кг} \cdot 9,8 \, \text{м/с}^2 = 147,3 \, \text{Н} + 2,94 \, \text{Н} \approx 150,2$ Н.

Ответ: Средняя сила удара пластилинового шара об асфальт составляет $F_{ср3} \approx 150,2$ Н.

4. Средняя сила удара пластилинового шара о наклонную поверхность

Удар также является абсолютно неупругим, конечная скорость шара равна нулю, $v=0$. Используем систему координат, связанную с наклонной плоскостью (ось OY перпендикулярна ей).

Конечная скорость в проекции на ось OY равна нулю: $v_y=0$. Начальная, как и в пункте 2, $v_{0y} = -v_0 \cos\alpha$.

$(F_{ср4} - mg\cos\alpha)t = mv_y - mv_{0y} = m(0) - m(-v_0\cos\alpha) = mv_0\cos\alpha$

$F_{ср4} = \frac{mv_0\cos\alpha}{t} + mg\cos\alpha = ( \frac{m\sqrt{2gH}}{t} + mg ) \cos\alpha$

$F_{ср4} = (147,3 \, \text{Н} + 2,94 \, \text{Н}) \cdot \cos(30^\circ) = 150,24 \, \text{Н} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 130,1$ Н.

Ответ: Средняя сила удара пластилинового шара о наклонную поверхность составляет $F_{ср4} \approx 130,1$ Н.