Номер 36, страница 70 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 9. Элементы статики. Динамика. Механика - номер 36, страница 70.

Условие.

О-36. Пять кирпичей одинаковой длины $\text{l}$ кладут без раствора один на другой так, что очередной кирпич выступает над нижележащим (см. рисунок). На какое наибольшее расстояние может выступать правый край самого верхнего кирпича над правым краем самого нижнего кирпича?

☑ $25l/24$.

Решение. Будем нумеровать кирпичи, начиная с верхнего. Центр тяжести кирпича отстоит от его края на $l/2$. Поэтому первый кирпич может выступать над краем второго не более чем на $l/2$. Тогда общий центр тяжести $C_2$ двух верхних кирпичей расположен на расстоянии $l/4$ по горизонтали от края второго кирпича (см. рисунок). Именно на такое расстояние и может выступать второй кирпич над третьим.

Центр тяжести трех верхних кирпичей $C_3$ определяется из условия $mg\left(\frac{l}{2} - x\right) = 2mg \cdot x,$ откуда $x = l/6$, т. е. третий кирпич может выступать над четвертым на $l/6$ своей длины. Аналогично доказывается, что четвертый кирпич может выступать над пятым на $l/8$ своей длины. Таким образом, смещение верхнего кирпича относительно нижнего не должно превышать $l/2 + l/4 + l/6 + l/8 = 25l/24$. Как видим, верхний кирпич может целиком выйти за пределы площади опоры! Однако равновесие уложенных таким образом кирпичей неустойчиво.

Решение.

Дано:

Количество кирпичей: $N=5$

Длина каждого кирпича: $l$

Масса каждого кирпича: $m$ (одинаковая)

Найти:

Максимальное горизонтальное расстояние $D$ между правым краем самого верхнего кирпича и правым краем самого нижнего кирпича.

Решение:

Для того чтобы стопка кирпичей находилась в равновесии, необходимо, чтобы центр масс любой группы верхних кирпичей находился над точкой опоры, то есть над нижележащим кирпичом. Чтобы выступ был максимальным, общий центр масс (ЦМ) верхних кирпичей должен находиться точно над краем нижележащего кирпича.

Будем нумеровать кирпичи сверху вниз от 1 до 5. Общее смещение $D$ равно сумме смещений каждого верхнего кирпича относительно нижележащего.

$D = d_1 + d_2 + d_3 + d_4$

где $d_i$ — смещение $i$-го кирпича относительно $(i+1)$-го.

1. Смещение первого кирпича относительно второго ($d_1$).

Рассмотрим самый верхний кирпич (№1), лежащий на втором (№2). Его центр масс находится посередине, на расстоянии $l/2$ от правого края. Для максимального выступа центр масс первого кирпича должен находиться точно над правым краем второго кирпича. Следовательно, максимальное смещение:

$d_1 = \frac{l}{2}$

2. Смещение второго кирпича относительно третьего ($d_2$).

Теперь рассмотрим систему из двух верхних кирпичей (№1 и №2), лежащую на третьем кирпиче (№3). Чтобы эта система имела максимальный выступ, ее общий центр масс должен находиться над правым краем третьего кирпича. Найдем положение общего центра масс (ЦМ) системы из двух кирпичей относительно правого края второго кирпича. Пусть правый край второго кирпича — это начало координат ($x=0$).

Центр масс второго кирпича находится в точке $x_2 = -l/2$.

Правый край первого кирпича смещен на $d_1 = l/2$. Его центр масс находится в точке $x_1 = d_1 - l/2 = l/2 - l/2 = 0$.

Координата общего ЦМ для двух кирпичей:

$X_{ЦМ, 1+2} = \frac{m \cdot x_1 + m \cdot x_2}{m+m} = \frac{m \cdot 0 + m \cdot (-l/2)}{2m} = -\frac{l}{4}$

Знак «минус» означает, что ЦМ смещен влево от края второго кирпича на расстояние $l/4$. Это расстояние и будет максимальным смещением второго кирпича относительно третьего.

$d_2 = \frac{l}{4}$

3. Общий случай и остальные смещения.

Можно вывести общую закономерность. Для стопки из $n$ верхних кирпичей, лежащей на $(n+1)$-ом кирпиче, максимальное смещение $d_n$ равно:

$d_n = \frac{l}{2n}$

Проверим для $n=1$: $d_1 = l/(2 \cdot 1) = l/2$. Верно.

Проверим для $n=2$: $d_2 = l/(2 \cdot 2) = l/4$. Верно.

Теперь найдем смещение третьего кирпича относительно четвертого ($d_3$). Здесь мы рассматриваем стопку из $n=3$ верхних кирпичей.

$d_3 = \frac{l}{2 \cdot 3} = \frac{l}{6}$

И смещение четвертого кирпича относительно пятого ($d_4$), где $n=4$:

$d_4 = \frac{l}{2 \cdot 4} = \frac{l}{8}$

4. Суммарное смещение.

Максимальное расстояние, на которое может выступать правый край самого верхнего кирпича над правым краем самого нижнего, равно сумме всех найденных смещений:

$D = d_1 + d_2 + d_3 + d_4 = \frac{l}{2} + \frac{l}{4} + \frac{l}{6} + \frac{l}{8}$

Приведем дроби к общему знаменателю 24:

$D = l \left( \frac{12}{24} + \frac{6}{24} + \frac{4}{24} + \frac{3}{24} \right) = l \left( \frac{12+6+4+3}{24} \right) = l \frac{25}{24}$

Таким образом, верхний кирпич может выступать за край нижнего на расстояние, большее собственной длины ($25l/24 > l$).

Ответ: $ \frac{25}{24}l $