Номер 9.7, страница 66 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Механика. Динамика. 9. Элементы статики. Упражнения - номер 9.7, страница 66.

Условие.

9.7. К концам нити, переброшенной через два блока, подвесили грузы $m_1$ и $m_2$ (см. рисунок). Какой груз $m_3$ надо подвесить к нити между блоками, чтобы при равновесии угол $\alpha$ был равен 120°?

Рассмотрите случаи: а) $m_1 = m_2 = 4$ кг; б) $m_1 = 3$ кг, $m_2 = 5$ кг.

☑ а) $m_3 = 4$ кг; б) $m_3 = 4,4$ кг.

Решение. Сила натяжения каждой нити равна весу неподвижно висящего на ней груза (см. рис. а); следовательно, $T_1 = m_1g$, $T_2 = m_2g$. Согласно условию равновесия $\vec{T_1} + \vec{T_2} + m_3\vec{g} = 0$. Вместо того чтобы проецировать силы на различные оси, в данном случае удобно изобразить треугольник сил (см. рис. б), выражающий условие равновесия. Применяя теорему косинусов, получаем $(m_3g)^2 = T_1^2 + T_2^2 - 2T_1T_2 \cos(\pi - \alpha)$, откуда получаем:

$m_3 = \sqrt{m_1^2 + m_2^2 + 2m_1m_2 \cos\alpha}$.

Рис. а

Рис. б

Решение.

а)

Дано:

$m_1 = 4$ кг
$m_2 = 4$ кг
$\alpha = 120^\circ$

Все величины, кроме угла, даны в системе СИ.

Найти:

$m_3$ - ?

Решение:

Система находится в равновесии. Рассмотрим узел A, к которому подвешен груз $m_3$. На этот узел действуют три силы: сила натяжения нити со стороны груза $m_1$ ($\vec{T_1}$), сила натяжения нити со стороны груза $m_2$ ($\vec{T_2}$) и сила тяжести груза $m_3$ ($m_3\vec{g}$).

Поскольку грузы $m_1$ и $m_2$ висят неподвижно, модули сил натяжения нитей равны модулям сил тяжести, действующих на эти грузы (блоки и нить считаем идеальными):

$T_1 = m_1g$

$T_2 = m_2g$

Согласно первому закону Ньютона, условие равновесия для узла A записывается в векторной форме как равенство нулю суммы всех действующих на него сил:

$\vec{T_1} + \vec{T_2} + m_3\vec{g} = 0$

Из этого уравнения следует, что векторная сумма сил натяжения $\vec{T_1} + \vec{T_2}$ должна уравновешивать силу тяжести $m_3\vec{g}$. Это означает, что равнодействующая сил натяжения $\vec{R} = \vec{T_1} + \vec{T_2}$ направлена вертикально вверх и по модулю равна силе тяжести $m_3g$:

$R = m_3g$

Модуль равнодействующей двух векторов $\vec{T_1}$ и $\vec{T_2}$, между которыми угол $\alpha$, находится по теореме косинусов для векторов (правило параллелограмма):

$R^2 = T_1^2 + T_2^2 + 2T_1T_2 \cos \alpha$

Подставим в это уравнение выражения для $R$, $T_1$ и $T_2$:

$(m_3g)^2 = (m_1g)^2 + (m_2g)^2 + 2(m_1g)(m_2g) \cos \alpha$

Сократив обе части уравнения на $g^2$ (где $g$ - ускорение свободного падения), получим формулу для расчета массы $m_3$:

$m_3^2 = m_1^2 + m_2^2 + 2m_1m_2 \cos \alpha$

$m_3 = \sqrt{m_1^2 + m_2^2 + 2m_1m_2 \cos \alpha}$

Теперь подставим числовые значения для данного случая:

$m_3 = \sqrt{4^2 + 4^2 + 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot \cos 120^\circ}$

Используем значение косинуса: $\cos 120^\circ = -0.5$.

$m_3 = \sqrt{16 + 16 + 2 \cdot 16 \cdot (-0.5)} = \sqrt{32 - 16} = \sqrt{16} = 4$ кг.

Ответ: $m_3 = 4$ кг.

б)

Дано:

$m_1 = 3$ кг
$m_2 = 5$ кг
$\alpha = 120^\circ$

Все величины, кроме угла, даны в системе СИ.

Найти:

$m_3$ - ?

Решение:

Используем ту же формулу, что и в пункте а), выведенную из условия равновесия сил:

$m_3 = \sqrt{m_1^2 + m_2^2 + 2m_1m_2 \cos \alpha}$

Подставим числовые значения для случая б):

$m_3 = \sqrt{3^2 + 5^2 + 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos 120^\circ}$

Используем значение косинуса: $\cos 120^\circ = -0.5$.

$m_3 = \sqrt{9 + 25 + 2 \cdot 15 \cdot (-0.5)} = \sqrt{34 - 15} = \sqrt{19}$ кг.

Вычислим приближенное значение и округлим до десятых:

$m_3 = \sqrt{19} \approx 4.359$ кг $\approx 4.4$ кг.

Ответ: $m_3 = \sqrt{19}$ кг $\approx 4.4$ кг.