Номер 9.9, страница 68 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Механика. Динамика. 9. Элементы статики. Упражнения - номер 9.9, страница 68.

Условие.

9.9. Гладкий невесомый стержень $AC$ длиной $\text{1}$ м вставлен горизонтально с малым зазором по толщине на глубину $AB = 0,2$ м в вертикальную стену (см. рисунок). К концу $\text{C}$ стержня подвешен груз весом $P = 100$ Н. Найдите силы реакции стенки в точках $\text{A}$ и $\text{B}$.

☑ $N_A = 400$ Н; $N_B = 500$ Н.

Решение.

Стержень давит на стену в точке $\text{A}$ с силой, направленной вверх, а в точке $\text{B}$ — вниз. Силы реакции опор $N_A$ и $N_B$ (см. рисунок) направлены соответственно вниз и вверх. Первое и второе условия равновесия имеют вид $N_B = N_A + mg$ и $N_B \cdot AB = mg \cdot AC$ (моменты сил вычислены относительно точки $\text{A}$). Отсюда: $N_B = mg \cdot AC/AB = P \cdot AC/AB = 500$ (Н), $N_A = mg \frac{AC - AB}{AB} = P \frac{BC}{AB} = 400$ (Н). Заметим, что обе силы реакции намного превышают вес груза, поскольку $AB$ значительно меньше $AC$.

Решение.

Дано:

Длина стержня, $AC = 1$ м

Глубина в стене, $AB = 0,2$ м

Вес груза, $P = 100$ Н

Найти:

Силы реакции стенки $N_A$ и $N_B$.

Решение:

На горизонтальный стержень AC действуют три вертикальные силы: сила тяжести груза $P$ в точке C, направленная вниз, и силы реакции опоры $N_A$ и $N_B$ в точках A и B соответственно. Так как груз в точке C стремится повернуть стержень по часовой стрелке относительно точки B, то стержень будет давить на стену вверх в точке A и вниз в точке B. По третьему закону Ньютона, сила реакции стенки $N_A$ будет направлена вниз, а сила реакции $N_B$ — вверх.

Для того чтобы стержень находился в равновесии, должны выполняться два условия:

1. Сумма всех сил, действующих на стержень, должна быть равна нулю (условие равновесия поступательного движения). Запишем это условие для проекций сил на вертикальную ось, направив её вверх:

$N_B - N_A - P = 0$

Отсюда получаем первое уравнение:

$N_B = N_A + P$

2. Сумма моментов всех сил относительно любой точки должна быть равна нулю (условие равновесия вращательного движения). Для удобства выберем в качестве оси вращения точку A. Момент силы $N_A$ относительно этой точки равен нулю. Момент силы $N_B$ стремится повернуть стержень против часовой стрелки (считаем его положительным), а момент силы $P$ — по часовой стрелке (считаем его отрицательным).

Уравнение моментов относительно точки А:

$\sum M_A = M(N_B) + M(P) = 0$

$N_B \cdot AB - P \cdot AC = 0$

Из этого уравнения можно найти силу $N_B$:

$N_B = P \cdot \frac{AC}{AB}$

Подставляем числовые значения:

$N_B = 100 \, \text{Н} \cdot \frac{1 \, \text{м}}{0,2 \, \text{м}} = 100 \, \text{Н} \cdot 5 = 500 \, \text{Н}$

Теперь, зная величину $N_B$, мы можем найти силу $N_A$ из первого условия равновесия:

$N_A = N_B - P$

Подставляем значения:

$N_A = 500 \, \text{Н} - 100 \, \text{Н} = 400 \, \text{Н}$

Ответ: Сила реакции в точке A равна $N_A = 400$ Н, сила реакции в точке B равна $N_B = 500$ Н.