Номер 9.5, страница 66 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Механика. Динамика. 9. Элементы статики. Упражнения - номер 9.5, страница 66.

Условие.

9.5. Длинный стержень легче удерживать в горизонтальном положении за середину, чем за конец. Почему?

Решение. Если стержень $BC$ (см. рисунок) удерживать за середину $\text{O}$, то необходимо прилагать силу, равную силе тяжести стержня $mg$. Если же стержень удерживать за конец в горизонтальном положении силами $F_1$ и $F_2$, то необходимо уравновесить момент, создаваемый силой тяжести стержня. Так как плечо $AB$ удерживающей силы $F_1$ меньше половины длины стержня, то удерживающая сила должна быть существенно больше силы тяжести стержня $mg$.

Решение.

Решение

Чтобы удерживать стержень в горизонтальном положении, необходимо, чтобы он находился в состоянии равновесия. Это означает, что сумма всех действующих на него сил (условие поступательного равновесия) и сумма всех моментов сил (условие вращательного равновесия) должны быть равны нулю. Рассмотрим два случая.

1. Удержание стержня за середину

Если стержень однородный, его центр тяжести находится в геометрическом центре (точка O на рисунке). На стержень действует сила тяжести $P = mg$, направленная вертикально вниз и приложенная к его центру тяжести. Чтобы удержать стержень, достаточно приложить в этой же точке O одну силу $F_{удерж}$, направленную вертикально вверх. Из условия равновесия сил следует, что $F_{удерж} - mg = 0$, откуда:

$F_{удерж} = mg$

Так как обе силы приложены в одной точке, они не создают вращающего момента, и условие вращательного равновесия выполняется автоматически. Таким образом, для удержания стержня за середину нужно приложить силу, равную его весу.

2. Удержание стержня за конец

Когда мы удерживаем стержень за один из концов (например, в области точки B), ситуация меняется. Сила тяжести $mg$ по-прежнему приложена в центре стержня O. Эта сила создает вращающий момент относительно точки удержания, который стремится повернуть стержень вниз. Пусть длина стержня равна $L$. Тогда плечо силы тяжести относительно конца стержня (точка B) равно $L/2$, а создаваемый ею момент силы равен:

$M_{тяж} = mg \cdot \frac{L}{2}$

Чтобы стержень оставался в равновесии, наша рука должна создать уравновешивающий момент силы, равный по величине и противоположный по направлению. Рука создает этот момент, действуя на стержень как минимум в двух точках. Упрощенно, мы прикладываем большую силу $F_1$ вверх (например, указательным пальцем в точке A) и силу $F_2$ вниз (например, большим пальцем или ладонью на самом краю в точке B). Расстояние между этими точками $d = AB$ (ширина хвата) очень мало по сравнению с длиной стержня $L$.

Запишем условие равновесия моментов сил относительно точки B (край стержня):

$M_{F_1} - M_{тяж} = 0$

Момент силы $F_1$ равен $M_{F_1} = F_1 \cdot d$. Подставив выражения для моментов, получим:

$F_1 \cdot d - mg \cdot \frac{L}{2} = 0$

Отсюда можно выразить удерживающую силу $F_1$:

$F_1 = mg \cdot \frac{L}{2d}$

Поскольку длинный стержень по условию ($L$) значительно длиннее ширины нашего хвата ($d$), то множитель $\frac{L}{2d}$ будет много больше единицы. Следовательно, сила $F_1$, которую необходимо приложить вверх, чтобы удержать стержень за конец, во много раз превышает силу тяжести стержня $mg$. Именно эту большую силу мы и ощущаем как трудность.

Ответ: При удержании стержня за середину необходимо приложить силу, равную силе тяжести стержня. При удержании за конец сила тяжести создает значительный вращающий момент. Чтобы скомпенсировать этот момент, рука должна приложить пару сил, создающую ответный момент. Из-за малого плеча силы внутри хвата (малого расстояния между точками приложения сил рукой) величина этих сил оказывается значительно больше, чем сила тяжести самого стержня. Поэтому удерживать стержень за конец намного труднее.