Номер 11.10, страница 80 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Механика. Законы сохранения в механике. 11. Механическая работа. Энергия. Закон сохранения энергии. Упражнения - номер 11.10, страница 80.

Условие.

11.10. Автомобиль движется вверх по пологому склону со скоростью $v_1 = 6$ м/с и спускается по той же дороге со скоростью $v_2 = 9$ м/с. С какой скоростью $\text{v}$ будет ехать этот автомобиль по горизонтальному участку этой же дороги, если мощность двигателя все время остается неизменной? Сопротивлением воздуха можно пренебречь.

☑ $v = 7,2$ м/с.

Решение. При малом угле $\alpha$ наклона дороги сила трения $F_{тр} = \mu mg \cos \alpha \approx \mu mg$, т. е. практически та же, что и на горизонтальной дороге. Сила тяги на подъеме равна $F_{тр} + mg \sin \alpha$, на спуске $F_{тр} - mg \sin \alpha$, а на горизонтальном участке $F_{тр}$. Мощность двигателя $N = mgv_1(\mu + \sin \alpha) = mgv_2(\mu - \sin \alpha) = \mu mgv$. Отсюда $N/v_1 + N/v_2 = 2N/v$ и, следовательно, $v = \frac{2v_1v_2}{v_1 + v_2} = 7,2$ (м/с).

Решение.

Дано:

Скорость автомобиля на подъеме $v_1 = 6 \text{ м/с}$

Скорость автомобиля на спуске $v_2 = 9 \text{ м/с}$

Мощность двигателя постоянна $N = \text{const}$

Найти:

Скорость автомобиля на горизонтальном участке $v$

Решение:

Мощность двигателя $N$ связана с силой тяги $F_{тяги}$ и скоростью $v$ соотношением $N = F_{тяги} \cdot v$. Так как мощность постоянна, сила тяги обратно пропорциональна скорости: $F_{тяги} = N/v$.

Поскольку автомобиль движется с постоянной скоростью во всех трех случаях, сила тяги уравновешивает суммарную силу сопротивления. Рассмотрим силы, действующие на автомобиль в каждом случае.

Пусть $m$ — масса автомобиля, $\alpha$ — угол наклона склона, $\mu$ — коэффициент трения.

Сила трения для пологого склона $(\cos\alpha \approx 1)$ приблизительно равна силе трения на горизонтальной дороге: $F_{тр} = \mu N = \mu mg \cos\alpha \approx \mu mg$.

1. Движение вверх по склону (на подъем) со скоростью $v_1$

Сила тяги $F_{тяги1}$ уравновешивает силу трения $F_{тр}$ и скатывающую силу (проекцию силы тяжести на дорогу) $mg \sin\alpha$.

$F_{тяги1} = F_{тр} + mg \sin\alpha$

Мощность двигателя: $N = F_{тяги1} \cdot v_1 = (F_{тр} + mg \sin\alpha)v_1$.

Отсюда сила сопротивления: $F_{тр} + mg \sin\alpha = \frac{N}{v_1}$.

2. Движение вниз по склону (на спуск) со скоростью $v_2$

Сила тяги $F_{тяги2}$ вместе со скатывающей силой $mg \sin\alpha$ уравновешивает силу трения $F_{тр}$.

$F_{тяги2} + mg \sin\alpha = F_{тр} \implies F_{тяги2} = F_{тр} - mg \sin\alpha$

Мощность двигателя: $N = F_{тяги2} \cdot v_2 = (F_{тр} - mg \sin\alpha)v_2$.

Отсюда сила сопротивления: $F_{тр} - mg \sin\alpha = \frac{N}{v_2}$.

3. Движение по горизонтальной дороге со скоростью $v$

Сила тяги $F_{тяги}$ уравновешивает только силу трения $F_{тр}$.

$F_{тяги} = F_{тр}$

Мощность двигателя: $N = F_{тяги} \cdot v = F_{тр} \cdot v$.

Отсюда сила трения: $F_{тр} = \frac{N}{v}$.

Теперь мы имеем систему из двух уравнений с неизвестными $F_{тр}$ и $mg \sin\alpha$:

$\begin{cases} F_{тр} + mg \sin\alpha = \frac{N}{v_1} \\ F_{тр} - mg \sin\alpha = \frac{N}{v_2} \end{cases}$

Сложим эти два уравнения, чтобы исключить скатывающую силу:

$(F_{тр} + mg \sin\alpha) + (F_{тр} - mg \sin\alpha) = \frac{N}{v_1} + \frac{N}{v_2}$

$2F_{тр} = N(\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2})$

Подставим в это уравнение выражение для силы трения из третьего случая ($F_{тр} = N/v$):

$2 \cdot \frac{N}{v} = N(\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2})$

Сократим $N$ (так как $N \ne 0$):

$\frac{2}{v} = \frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}$

Выразим скорость $v$:

$\frac{2}{v} = \frac{v_2 + v_1}{v_1 v_2}$

$v = \frac{2v_1 v_2}{v_1 + v_2}$

Подставим числовые значения:

$v = \frac{2 \cdot 6 \text{ м/с} \cdot 9 \text{ м/с}}{6 \text{ м/с} + 9 \text{ м/с}} = \frac{108 \text{ м²/с²}}{15 \text{ м/с}} = 7,2 \text{ м/с}$

Ответ: Скорость автомобиля на горизонтальном участке дороги будет равна $7,2 \text{ м/с}$.