Номер 12.8, страница 91 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Упражнения. 12. Механические колебания. Механические колебания и волны. Механика - номер 12.8, страница 91.

Условие.

12.8. На нити висит шарик массой $\text{m}$, к которому с помощью пружины жесткостью $\text{k}$ подвешен шарик массой $2m$. Нить пережигают. Каков период колебаний, происходящих при падении?

☑ $T = 2\pi \sqrt{\frac{2m}{k}}$.

Решение. Центр масс системы делит длину $\text{l}$ пружины в отношении $2 : 1$. При падении в системе отсчета, связанной с центром масс, наблюдается невесомость. Поэтому можно считать, что груз массы $\text{m}$ колеблется на пружине длиной $2l/3$, груз массы $2m$ — на пружине длиной $l/3$. Жесткости частей пружины равны соответственно $1,5k$ и $3k$. Поэтому для обоих грузов $T = 2\pi \sqrt{\frac{2m}{k}}$.

Решение.

Дано:

Масса первого шарика: $m_1 = m$

Масса второго шарика: $m_2 = 2m$

Жесткость пружины: $k$

Найти:

Период колебаний: $T$

Решение:

Когда нить перерезают, вся система из двух шариков и пружины начинает свободно падать под действием силы тяжести с ускорением $g$. Для анализа колебаний шариков относительно друг друга удобно перейти в систему отсчета, связанную с центром масс системы. Эта система отсчета движется с ускорением $g$, поэтому в ней на тела действуют силы инерции, которые компенсируют силы тяжести. Таким образом, в этой системе отсчета можно рассматривать колебания шариков так, как будто они происходят в невесомости.

Задача о колебаниях двух тел, соединенных пружиной, эквивалентна задаче о колебаниях тела с приведенной массой $\mu$, закрепленного на той же пружине. Приведенная масса системы из двух тел с массами $m_1$ и $m_2$ находится по формуле:

$\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$

Подставим массы шариков из условия задачи:

$\mu = \frac{m \cdot 2m}{m + 2m} = \frac{2m^2}{3m} = \frac{2}{3}m$

Период гармонических колебаний пружинного маятника определяется формулой:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{\mu}{k}}$

Теперь подставим вычисленное значение приведенной массы $\mu$ в эту формулу, чтобы найти период колебаний системы:

$T = 2\pi\sqrt{\frac{\frac{2}{3}m}{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{2m}{3k}}$

Ответ: $T = 2\pi\sqrt{\frac{2m}{3k}}$