Номер 49, страница 91 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 12. Механические колебания. Механические колебания и волны. Механика - номер 49, страница 91.

Условие.

O-49. На два быстро вращающихся одинаковых валика положили горизонтально доску массой $\text{m}$ (см. рисунок). Расстояние между осями валиков $\text{L}$, коэффициент трения между доской и валиками $\mu$. Как будет двигаться доска?

Как изменится ответ, если оба валика изменят направление вращения?

☑ Доска будет совершать гармонические колебания с периодом $T = 2\pi\sqrt{L/(2\mu g)}$. Если валики изменят направление вращения, доска будет сброшена с них.

Решение. В условии говорится о быстром вращении валиков; значит, между ними и доской действуют силы трения скольжения (см. рисунок).

Следовательно, $ma_x = F_{тр1} - F_{тр2} = \mu(N_1 - N_2)$, где $N_1$ и $N_2$ — силы давления доски на первый и второй валики. В положении равновесия центр доски C расположен на равных расстояниях от обоих валиков. Если доска сместилась от положения равновесия на расстояние $\text{x}$, то $\frac{N_1}{N_2} = \frac{0,5L - x}{0,5L + x}$.

Учитывая, что $N_1 + N_2 = mg$, получаем: $N_1 = mg(1/2 - x/L)$ и $N_2 = mg(1/2 + x/L)$.

Уравнение движения принимает вид $a_x = -(2\mu g/L)x$. Это уравнение гармонических колебаний с циклической частотой $\omega_0 = \sqrt{2\mu g/L}$ и периодом $T = 2\pi\sqrt{L/(2\mu g)}$.

Если валики изменят направление вращения, то обе силы трения будут направлены «наружу». Смещение доски от положения равновесия увеличит на этот раз ту силу трения, которая стремится увеличить смещение. Следовательно, равновесие в этом случае неустойчиво: доска будет сброшена с валиков.

Решение.

Дано:

масса доски: $m$

расстояние между осями валиков: $L$

коэффициент трения скольжения: $μ$

ускорение свободного падения: $g$

Найти:

1. Как будет двигаться доска.

2. Как изменится характер движения, если валики изменят направление вращения.

Решение:

Как будет двигаться доска?

По умолчанию будем считать, что валики вращаются "внутрь", то есть их верхние поверхности движутся навстречу друг другу. Введем горизонтальную ось $Ox$, начало которой ($x=0$) находится ровно посередине между валиками.

Рассмотрим доску, смещенную из положения равновесия вправо на расстояние $x$. На доску действуют вертикальные силы: сила тяжести $mg$ и силы нормальной реакции опор $N_1$ (левый валик) и $N_2$ (правый валик). Из условия равновесия по вертикали:

$N_1 + N_2 = mg$

Для нахождения $N_1$ и $N_2$ по отдельности запишем уравнение моментов относительно центра масс доски C (который находится в точке $x$). Расстояние от центра масс до левого валика равно $L/2 + x$, а до правого $L/2 - x$.

$N_1(L/2 + x) - N_2(L/2 - x) = 0$

Решая эту систему уравнений, получаем:

$N_1 = mg(\frac{1}{2} - \frac{x}{L})$

$N_2 = mg(\frac{1}{2} + \frac{x}{L})$

При вращении валиков "внутрь" сила трения от левого валика $F_{тр1}$ направлена вправо, а от правого валика $F_{тр2}$ — влево. Результирующая сила, действующая на доску в горизонтальном направлении, равна:

$F_x = F_{тр1} - F_{тр2} = μN_1 - μN_2$

Подставим выражения для $N_1$ и $N_2$:

$F_x = μ[mg(\frac{1}{2} - \frac{x}{L}) - mg(\frac{1}{2} + \frac{x}{L})] = μmg(-\frac{2x}{L}) = -(\frac{2μmg}{L})x$

Согласно второму закону Ньютона, $F_x = ma_x$.

$ma_x = -(\frac{2μmg}{L})x$

Сокращая массу $m$, получаем уравнение для ускорения:

$a_x = -(\frac{2μg}{L})x$

Это уравнение описывает гармонические колебания вида $a_x = -ω^2x$. Отсюда можно найти циклическую частоту колебаний $ω$:

$ω^2 = \frac{2μg}{L} \implies ω = \sqrt{\frac{2μg}{L}}$

Период колебаний $T$ связан с циклической частотой как $T = 2π/ω$.

$T = 2π\sqrt{\frac{L}{2μg}}$

Таким образом, доска будет совершать незатухающие гармонические колебания около положения равновесия.

Ответ: Доска будет совершать гармонические колебания с периодом $T = 2π\sqrt{\frac{L}{2μg}}$.

Как изменится ответ, если оба валика изменят направление вращения?

Если валики начнут вращаться "наружу", то направления сил трения изменятся на противоположные. Сила трения от левого валика $F_{тр1}$ будет направлена влево, а от правого $F_{тр2}$ — вправо.

Снова сместим доску вправо на расстояние $x$. Результирующая сила будет равна:

$F_x = F_{тр2} - F_{тр1} = μN_2 - μN_1$

Подставим выражения для $N_1$ и $N_2$:

$F_x = μ[mg(\frac{1}{2} + \frac{x}{L}) - mg(\frac{1}{2} - \frac{x}{L})] = μmg(\frac{2x}{L}) = +(\frac{2μmg}{L})x$

Уравнение движения примет вид:

$a_x = +(\frac{2μg}{L})x$

В этом случае результирующая сила направлена в ту же сторону, что и смещение. Такая сила не возвращает тело в положение равновесия, а наоборот, увеличивает его смещение. Положение равновесия $x=0$ становится неустойчивым. Любое случайное смещение будет нарастать, и доска будет сброшена с валиков.

Ответ: Положение равновесия станет неустойчивым. При малейшем смещении от центра доска начнет ускоренно двигаться в сторону смещения и в итоге будет сброшена с валиков.