Номер 51, страница 93 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Механика. Механические колебания и волны. 12. Механические колебания. Олимпиадные задачи - номер 51, страница 93.

Условие.

О-51. На гладком столе лежат два грузика массами $m_1 = 100$ г и $m_2 = 300$ г, соединенные легкой пружиной жесткостью $k = 50$ Н/м. Один из грузиков касается стенки (см. рисунок). Грузики связаны нитью длиной $l_0 = 6$ см, при этом пружина сжата на $\Delta l = 2$ см. Опишите движение грузиков после того, как нить пережигают.

Решение. Сразу после пережигания нити правый грузик начнет под действием пружины двигаться вправо, а левый будет прижат к стене до тех пор, пока пружина будет сжата. Когда пружина начнет растягиваться, она оторвет левый грузик от стены и оба грузика будут двигаться по столу, совершая колебания, причем центр масс системы будет двигаться прямолинейно и равномерно.

Период колебаний $T = 2\pi \sqrt{\frac{m_1 m_2}{k(m_1 + m_2)}} = 0,24$ (с) (см. решение задачи О-50).

Найдем скорость $v_{\text{цм}}$ движения центра масс. Поскольку в момент отрыва левого грузика от стены пружина не деформирована, из закона сохранения энергии следует, что $k(\Delta l)^2/2 = m_2 v_2^2/2$, где $v_2$ — скорость правого грузика в этот момент. Следовательно, скорость центра масс $v_{\text{цм}} = \frac{m_2}{m_1 + m_2} v_2 = \frac{\Delta l \sqrt{km_2}}{m_1 + m_2} = 0,19$ (м/с).

Найдем теперь, в каких пределах изменяется длина пружины при колебаниях.

Максимальное удлинение пружины

В моменты наибольшего растяжения или сжатия пружины грузики неподвижны относительно центра масс, и кинетическая энергия системы равна $(m_1 + m_2) v_{\text{цм}}^2 / 2$. Из закона сохранения энергии можно найти величину максимального удлинения пружины: $x = \Delta l \sqrt{\frac{m_1}{m_1 + m_2}} = 1$ (см).

Поскольку длина недеформированной пружины равна $l_0 + \Delta l$, при колебаниях длина пружины изменяется от $l_{\text{min}} = l_0 + \Delta l - x = 7$ (см) до $l_{\text{max}} = l_0 + \Delta l + x = 9$ (см). Заметим, что деформация пружины не достигает начального значения $\Delta l$: ведь часть начальной энергии деформированной пружины перешла в кинетическую энергию поступательного движения системы как целого.

Решение.

Дано:

$m_1 = 100$ г

$m_2 = 300$ г

$k = 50$ Н/м

$l_0 = 6$ см

$\Delta l = 2$ см

Перевод в систему СИ:

$m_1 = 0.1$ кг

$m_2 = 0.3$ кг

$k = 50$ Н/м

$l_0 = 0.06$ м

$\Delta l = 0.02$ м

Найти:

Описать движение грузиков после пережигания нити.

Решение:

Движение системы можно разделить на два этапа.

Этап 1: Движение до отрыва груза $m_1$ от стенки.

Изначально пружина сжата, и ее длина равна длине нити $l_0 = 6$ см. Сжатие составляет $\Delta l = 2$ см. Следовательно, длина недеформированной пружины $L_{ест} = l_0 + \Delta l = 6 + 2 = 8$ см.

После пережигания нити сжатая пружина начнет распрямляться, толкая оба груза. Груз $m_2$ начнет движение вправо. Груз $m_1$ будет прижат силой упругости к стенке и останется неподвижным, пока пружина сжата или имеет естественную длину.

Груз $m_1$ оторвется от стенки в тот момент, когда пружина достигнет своей естественной длины $L_{ест}$ и начнет растягиваться. В этот момент вся начальная потенциальная энергия сжатой пружины $E_п$ перейдет в кинетическую энергию груза $m_2$ (поскольку $m_1$ еще неподвижен).

По закону сохранения энергии:

$\frac{k(\Delta l)^2}{2} = \frac{m_2 v_2^2}{2}$

где $v_2$ – скорость груза $m_2$ в момент отрыва груза $m_1$ от стенки.

$v_2 = \Delta l \sqrt{\frac{k}{m_2}} = 0.02 \cdot \sqrt{\frac{50}{0.3}} \approx 0.258$ м/с.

Этап 2: Движение системы после отрыва груза $m_1$ от стенки.

После отрыва груза $m_1$ от стенки на систему из двух грузов и пружины не действуют внешние горизонтальные силы (трением пренебрегаем). Поэтому центр масс системы будет двигаться равномерно и прямолинейно. Скорость центра масс $v_{цм}$ найдем по состоянию системы в момент отрыва:

$v_{цм} = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}$

Так как в этот момент $v_1 = 0$, получаем:

$v_{цм} = \frac{m_2 v_2}{m_1 + m_2} = \frac{0.3 \cdot 0.258}{0.1 + 0.3} \approx 0.194$ м/с.

Относительно движущегося центра масс грузы будут совершать гармонические колебания. Период этих колебаний:

$T = 2\pi \sqrt{\frac{\mu}{k}}$, где $\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2}$ – приведенная масса системы.

$\mu = \frac{0.1 \cdot 0.3}{0.1 + 0.3} = 0.075$ кг.

$T = 2\pi \sqrt{\frac{0.075}{50}} \approx 0.24$ с.

Найдем амплитуду $x$ колебаний длины пружины. Энергия колебательного движения в системе центра масс сохраняется. В момент отрыва $m_1$ пружина не деформирована, и вся энергия колебаний является кинетической. В моменты максимального растяжения/сжатия эта энергия полностью переходит в потенциальную энергию пружины. Из закона сохранения энергии для колебательного движения:

$\frac{k x^2}{2} = E_{колеб} = E_{полная} - E_{цм} = \frac{m_2 v_2^2}{2} - \frac{(m_1+m_2)v_{цм}^2}{2}$

Подставив $v_{цм}$, получим:

$\frac{k x^2}{2} = \frac{1}{2} \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} v_2^2$

Используя $m_2 v_2^2 = k(\Delta l)^2$ из первого этапа, найдем $x$:

$k x^2 = \frac{m_1}{m_1 + m_2} (k (\Delta l)^2)$

$x = \Delta l \sqrt{\frac{m_1}{m_1 + m_2}} = 0.02 \cdot \sqrt{\frac{0.1}{0.1+0.3}} = 0.02 \cdot \sqrt{0.25} = 0.01$ м $= 1$ см.

Колебания длины пружины происходят вокруг ее естественной длины $L_{ест} = 8$ см с амплитудой $x = 1$ см. Таким образом, длина пружины будет меняться в пределах:

Минимальная длина: $l_{min} = L_{ест} - x = 8 - 1 = 7$ см.

Максимальная длина: $l_{max} = L_{ест} + x = 8 + 1 = 9$ см.

Ответ: После пережигания нити груз $m_2$ начинает двигаться вправо, а груз $m_1$ остается неподвижным у стенки до тех пор, пока пружина не достигнет своей естественной длины (8 см). Затем груз $m_1$ отрывается от стенки, и система из двух грузов и пружины движется вправо как единое целое. Центр масс системы движется равномерно и прямолинейно со скоростью около 0.19 м/с. Одновременно грузы совершают гармонические колебания относительно центра масс с периодом около 0.24 с. В ходе этих колебаний длина пружины периодически изменяется от 7 см до 9 см.