Номер 13.5, страница 98 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Механика. Механические колебания и волны. 13. Механические волны. Звук. Упражнения - номер 13.5, страница 98.

Условие.

13.5. Над цилиндрическим сосудом высотой $H = 1 \text{ м}$ звучит камертон с частотой колебаний $\nu = 340 \text{ Гц}$. В сосуд медленно наливают воду. При каких положениях уровня воды в сосуде звучание камертона значительно усиливается?

☑ При уровне воды 25 см или 75 см.

Решение. Усиление звука происходит в случае резонанса — когда частота звука совпадает с собственной частотой колебаний воздушного столба в сосуде. У поверхности воды при этом находится узел, а у верхнего открытого края сосуда — пучность стоячей волны. Расстояние между ближайшими узлами равно $\lambda/2$, а между узлом и ближайшей пучностью $\lambda/4$. Поэтому длина воздушного столба должна равняться $\lambda/4 + k \cdot \lambda/2$, где $k = 0, 1, 2,...$, а $\lambda = \nu/v = 1 \text{ м}$ ($\text{v}$ — скорость звука в воздухе). При заданных в условии числовых данных это соотношение может выполняться лишь при $k = 0$ и $k = 1$, т. е. высота столба воды равна 25 см или 75 см.

Решение.

Дано:

Высота цилиндрического сосуда, $H = 1$ м

Частота колебаний камертона, $ν = 340$ Гц

Скорость звука в воздухе, $v ≈ 340$ м/с

Найти:

Уровни воды в сосуде $h$, при которых звучание камертона значительно усиливается.

Решение:

Значительное усиление звука происходит в результате явления акустического резонанса. Резонанс возникает, когда собственная частота колебаний воздушного столба в сосуде совпадает с частотой звуковой волны, создаваемой камертоном.

Воздушный столб в сосуде, частично заполненном водой, можно рассматривать как резонатор, который является трубой, закрытой с одного конца (поверхность воды) и открытой с другого (верхний край сосуда). В такой трубе могут возникать стоячие волны. При этом у закрытого конца (поверхности воды) всегда будет узел смещения, а у открытого конца — пучность смещения.

Условием возникновения резонанса является размещение на длине воздушного столба $L$ нечетного числа четвертей длин волн. Математически это выражается формулой:

$L = (2k + 1) \frac{λ}{4}$, где $k = 0, 1, 2, ...$ — целое неотрицательное число, а $λ$ — длина волны звука.

Длину волны можно найти из соотношения:

$λ = \frac{v}{ν}$

Подставим данные из условия задачи. Скорость звука в воздухе примем равной 340 м/с.

$λ = \frac{340 \text{ м/с}}{340 \text{ Гц}} = 1$ м

Теперь найдем возможные длины воздушного столба $L$, при которых будет наблюдаться резонанс. Длина воздушного столба $L$ ограничена высотой сосуда $H$:

$L ≤ H$

$(2k + 1) \frac{λ}{4} ≤ H$

$(2k + 1) \frac{1 \text{ м}}{4} ≤ 1 \text{ м}$

$2k + 1 ≤ 4$

$2k ≤ 3$

$k ≤ 1.5$

Так как $k$ — целое неотрицательное число, возможны следующие значения: $k = 0$ и $k = 1$.

Рассчитаем соответствующие длины воздушного столба $L$ для этих значений $k$:

1. При $k = 0$ (основной тон):

$L_1 = (2 \cdot 0 + 1) \frac{1}{4} = 0.25$ м

2. При $k = 1$ (первый обертон):

$L_2 = (2 \cdot 1 + 1) \frac{1}{4} = \frac{3}{4} = 0.75$ м

Уровень воды в сосуде $h$ связан с высотой сосуда $H$ и длиной воздушного столба $L$ соотношением $h = H - L$. Найдем соответствующие уровни воды:

1. Для $L_1 = 0.25$ м:

$h_1 = 1 \text{ м} - 0.25 \text{ м} = 0.75$ м, что соответствует 75 см.

2. Для $L_2 = 0.75$ м:

$h_2 = 1 \text{ м} - 0.75 \text{ м} = 0.25$ м, что соответствует 25 см.

Ответ: Звучание камертона значительно усиливается при уровнях воды в сосуде 25 см и 75 см.