Номер 56, страница 100 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Механика. Механические колебания и волны. 13. Механические волны. Звук. Олимпиадные задачи - номер 56, страница 100.

Условие.

O-56. Реактивный самолет пролетел со скоростью, в два раза превосходящей скорость звука, на высоте $h = 5$ км над наблюдателем. На каком расстоянии от наблюдателя был самолет, когда человек услышал звук?

☑ На расстоянии $2h = 10$ км.

Решение. Наблюдатель в точке А услышит звук (громкий хлопок), когда точки А достигнет поверхность звукового конуса (см. решение задачи О-55), который самолет «тащит» за собой. К этому моменту самолет окажется в точке В (см. рисунок).

Очевидно, $AB = \frac{h}{\sin\alpha} = 2h = 10$ (км), где $\sin\alpha = \frac{v}{u} = 0,5$.

Обратите внимание: дошедший до наблюдателя звук «родился» не в точке С, а в точке D (отрезок AD перпендикулярен образующей AB).

Решение.

Дано:

Высота полета самолета, $h = 5$ км

Скорость самолета, $u$

Скорость звука, $v$

Соотношение скоростей, $u = 2v$

$h = 5 \text{ км} = 5 \times 10^3 \text{ м}$

Найти:

На каком расстоянии $L$ от наблюдателя был самолет, когда человек услышал звук?

Решение:

Когда самолет движется со скоростью, превышающей скорость звука ($u > v$), он создает ударную волну, которая распространяется в виде конуса, называемого конусом Маха. Наблюдатель на земле слышит звук (громкий хлопок или звуковой удар) в тот момент, когда до него доходит фронт этой ударной волны.

Рассмотрим геометрическую схему, представленную на рисунке в задаче. Пусть наблюдатель находится в точке A, а самолет в момент, когда звук достигает наблюдателя, находится в точке B. Высота полета самолета $h$ — это перпендикуляр, опущенный из точки A на траекторию полета самолета (отрезок AC, где C — точка на траектории прямо над наблюдателем). Таким образом, треугольник ACB является прямоугольным с прямым углом в точке C.

Расстояние, которое нужно найти, — это гипотенуза $AB = L$.

Угол $\alpha$ при вершине конуса Маха (угол между направлением движения самолета и образующей конуса) определяется соотношением скоростей:

$\sin \alpha = \frac{v}{u}$

По условию задачи, скорость самолета в два раза превышает скорость звука, то есть $u = 2v$. Подставим это в формулу:

$\sin \alpha = \frac{v}{2v} = \frac{1}{2} = 0.5$

Из прямоугольного треугольника ACB мы можем выразить синус угла $\alpha$ (который является углом при вершине B):

$\sin \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AC}{AB} = \frac{h}{L}$

Теперь мы можем приравнять два выражения для $\sin \alpha$ и найти искомое расстояние $L$:

$\frac{h}{L} = \frac{1}{2}$

Отсюда выражаем $L$:

$L = 2h$

Подставляем значение высоты $h = 5$ км:

$L = 2 \times 5 \text{ км} = 10 \text{ км}$

Таким образом, в тот момент, когда наблюдатель услышал звук, самолет находился от него на расстоянии 10 км.

Ответ: $10 \text{ км}$.