Номер 57, страница 100 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Механика. Механические колебания и волны. 13. Механические волны. Звук. Олимпиадные задачи - номер 57, страница 100.

Условие.

O-57. Гоночный автомобиль с включенной сиреной мчится со скоростью $u = 306$ км/ч. Частота колебаний сирены $\nu_0 = 400$ Гц. Впереди на обочине стоит другой автомобиль с точно такой же включенной сиреной. Каждый из водителей различает звук сирены другого автомобиля, потому что он слышит более высокий звук? Кто из них слышит более высокий звук? Какова частота $\nu$ этого звука?

☑ Более высокий звук $(\nu = 533$ Гц) слышит водитель стоящего автомобиля.

Решение. В системе отсчета лежащего автомобиля изменяется длина волны звука от приближающегося источника: за один период $\text{T}$ колебаний источник приближается на расстояние $uT$, поэтому расстояние между ближайшими «гребнями» волн (уплотнениями воздуха) равно не $vT$, а $vT - uT$ (здесь $\text{v}$ — скорость звука в воздухе). Это расстояние и есть длина звуковой волны $\lambda$, воспринимаемой неподвижным относительно земли (а, значит, и относительно воздуха) наблюдателем; частота воспринимаемого им звука $\nu_1 = \frac{v}{\lambda} = \frac{v}{(v-u)T} = \frac{\nu_0}{1 - u/v} = 533 \text{ (Гц)}.$

Для движущегося же автомобилиста повышение звука «покоящейся» сирены происходит по другой причине. В его системе отсчета длина волны звука не изменяется $(\lambda_0 = vT)$, однако изменяется скорость «встречного» звука: она равна $v + u$. Следовательно, едущий водитель слышит звук частотой $\nu_2 = (v+u)/\lambda_0 = \nu_0(1+u/v) = 500 \text{ (Гц)}$. Эффект изменения частоты звука при движении источника или приемника называется эффектом Доплера.

Решение.

Дано:

Скорость гоночного автомобиля, $u = 306$ км/ч

Частота колебаний сирены, $\nu_0 = 400$ Гц

Скорость звука в воздухе, $v = 340$ м/с (стандартное значение при нормальных условиях)

Перевод скорости в систему СИ:

$u = 306 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 306 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 85$ м/с

Найти:

1. Кто из водителей слышит более высокий звук?

2. Какова частота $\nu$ этого звука?

Решение:

Для решения задачи воспользуемся формулой эффекта Доплера. Эффект Доплера заключается в изменении частоты волн, воспринимаемой наблюдателем, из-за относительного движения источника волн и наблюдателя. Общая формула для воспринимаемой частоты $\nu'$ выглядит так:

$\nu' = \nu_0 \frac{v \pm u_{н}}{v \mp u_{и}}$

где $\nu_0$ — частота источника, $v$ — скорость звука, $u_{н}$ — скорость наблюдателя относительно среды, $u_{и}$ — скорость источника относительно среды. Верхние знаки в числителе и знаменателе используются, когда наблюдатель и источник движутся навстречу друг другу, а нижние — когда они удаляются друг от друга.

Рассчитаем частоту, которую слышит каждый из водителей.

Кто из них слышит более высокий звук?

1. Частота, воспринимаемая водителем стоящего автомобиля.

В этом случае наблюдатель (водитель стоящего автомобиля) неподвижен ($u_{н} = 0$), а источник звука (гоночный автомобиль) приближается к нему со скоростью $u_{и} = u = 85$ м/с. Используем формулу со знаком "минус" в знаменателе для сближающегося источника:

$\nu_1 = \nu_0 \frac{v}{v - u} = 400 \text{ Гц} \cdot \frac{340 \text{ м/с}}{340 \text{ м/с} - 85 \text{ м/с}} = 400 \cdot \frac{340}{255} = 400 \cdot \frac{4}{3} \approx 533,33$ Гц.

2. Частота, воспринимаемая водителем гоночного автомобиля.

В этом случае источник звука (стоящий автомобиль) неподвижен ($u_{и} = 0$), а наблюдатель (водитель гоночного автомобиля) приближается к нему со скоростью $u_{н} = u = 85$ м/с. Используем формулу со знаком "плюс" в числителе для сближающегося наблюдателя:

$\nu_2 = \nu_0 \frac{v + u}{v} = 400 \text{ Гц} \cdot \frac{340 \text{ м/с} + 85 \text{ м/с}}{340 \text{ м/с}} = 400 \cdot \frac{425}{340} = 400 \cdot 1,25 = 500$ Гц.

Сравнивая полученные частоты, $\nu_1 \approx 533$ Гц и $\nu_2 = 500$ Гц, видим, что $\nu_1 > \nu_2$. Таким образом, водитель стоящего автомобиля слышит более высокий звук.

Ответ: Более высокий звук слышит водитель стоящего автомобиля.

Какова частота ν этого звука?

Как было рассчитано в предыдущем пункте, максимальная воспринимаемая частота соответствует случаю, когда звук от движущегося автомобиля воспринимается водителем стоящего автомобиля. Эта частота равна $\nu_1$.

$\nu_{max} = \nu_1 \approx 533,33$ Гц.

Округляя до целого числа, как предложено в условии задачи, получаем 533 Гц.

Ответ: Частота этого звука $\nu \approx 533$ Гц.