Номер 59, страница 102 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Механика. Механические колебания и волны. 13. Механические волны. Звук. Олимпиадные задачи - номер 59, страница 102.

Условие.

O-59. По шнуру слева направо бежит со скоростью $\text{v}$ незатухающая гармоническая волна. При этом поперечное смещение точки O шнура изменяется по закону $y = A \cos \omega t$. Как зависит от времени смещение точки шнура, находящейся правее точки O на расстоянии $\text{x}$ от нее?

☑ $y = A \cos(\omega t - kx)$, где $k = \omega/v$.

Решение. Амплитуды колебаний всех точек одинаковы (волна незатухающая) и равны $\text{A}$, поэтому колебания в разных точках отличаются только по фазе. Это отличие обусловлено тем, что волна приходит в точку с координатой $\text{x}$ с запаздыванием $\Delta t = x/v$ (мы считаем $x = 0$ в точке O). Уравнение колебаний в этой точке имеет вид: $y = A \cos(\omega(t - \Delta t)) = A \cos(\omega t - \omega x/v)$.

Поскольку $\omega = 2\pi/T$ и $vT = \lambda$ (здесь $\text{T}$ — период, $\lambda$ — длина волны), то получаем $y = A \cos(\omega t - 2\pi x/\lambda)$ — так называемое уравнение бегущей волны. Величину $k = 2\pi/\lambda = \omega/v$ называют волновым числом. Уравнение бегущей волны можно записать в виде $y = A \cos(\omega t - kx)$, откуда видно,

что волновое число играет такую же роль по отношению к координате, как циклическая частота по отношению ко времени.

Решение.

Дано:

Скорость распространения волны: $v$

Уравнение колебаний в точке O ($x=0$): $y(0, t) = A \cos(\omega t)$

Направление распространения волны: в сторону увеличения координаты $x$.

Найти:

Зависимость смещения $y$ от времени $t$ и координаты $x$: $y(x, t)$

Решение:

Поскольку волна является незатухающей, амплитуда $A$ колебаний одинакова для всех точек шнура. Колебания в разных точках отличаются только по фазе.

Пусть точка O является началом отсчета ($x=0$). Волна распространяется от нее со скоростью $v$. Чтобы достигнуть точки с координатой $x$ (расположенной правее точки O), волне требуется время $\Delta t$.

$\Delta t = \frac{x}{v}$

Это означает, что колебания в точке $x$ в момент времени $t$ будут в точности повторять колебания, которые были в точке O в более ранний момент времени $t' = t - \Delta t$.

Чтобы найти уравнение колебаний для точки $x$, мы должны взять исходное уравнение для точки O, $y(0, t) = A \cos(\omega t)$, и заменить в нем время $t$ на время $t' = t - \frac{x}{v}$:

$y(x, t) = A \cos(\omega (t - \frac{x}{v}))$

Раскрыв скобки в аргументе косинуса, получим:

$y(x, t) = A \cos(\omega t - \frac{\omega}{v}x)$

Величину $k = \frac{\omega}{v}$ называют волновым числом. Оно показывает, на сколько радиан изменится фаза волны при смещении на единицу расстояния. Волновое число также можно выразить через длину волны $\lambda$. Зная, что циклическая частота $\omega = 2\pi/T$ и скорость волны $v = \lambda/T$ (где $T$ – период колебаний), получаем:

$k = \frac{\omega}{v} = \frac{2\pi/T}{\lambda/T} = \frac{2\pi}{\lambda}$

Подставив волновое число $k$ в уравнение, получаем стандартный вид уравнения плоской бегущей волны:

$y(x, t) = A \cos(\omega t - kx)$

Ответ: Зависимость смещения точки шнура от времени и координаты имеет вид $y = A \cos(\omega t - kx)$, где волновое число $k = \omega/v$.