Номер 55, страница 99 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 13. Механические волны. Звук. Механические колебания и волны. Механика - номер 55, страница 99.

Условие.

O-55. Пуля летит со скоростью $\text{u}$, превышающей скорость звука $\text{v}$. Какую форму имеет фронт ударной волны, возникающей в воздухе при полете пули?

☑ Форму конической поверхности с углом при вершине $2\arcsin \frac{v}{u}$.

Решение. Фронт ударной волны представляет собой огибающую сферических волн, испущенных пулей в каждый из предшествующих моментов времени. Докажем, что этот фронт представляет собой коническую поверхность. Пусть пуля находится в точке A (см. рис. а). Рассмотрим звуковую волну, испущенную пулей в точке B и, следовательно, имеющую «возраст» $\Delta t = AB/u$. Волновая поверхность этой волны — сфера радиусом $R = v \cdot \Delta t$. Построим конус с вершиной в точке A, касающийся этой сферы. Угол $\alpha$ между образующей конуса и его осью находим из соотношения $\sin \alpha = R/AB = v/u$. Этот угол не зависит от длины отрезка $AB$, поэтому построенный конус касается всех волновых поверхностей звуковых волн, испущенных пулей до ее «прихода» в точку A. Таким образом, этот конус (его называют звуковым) является огибающей поверхностью всех сферических волн, т. е. фронтом ударной волны (см. рис. б).

Рис. а

Рис. б

Решение.

Дано:

Скорость пули: $u$

Скорость звука: $v$

Условие: $u > v$

Найти:

Форму фронта ударной волны и угол при вершине.

Решение:

Когда объект, например пуля, движется со скоростью, превышающей скорость звука в среде, он создает ударную волну. Фронт этой волны представляет собой огибающую поверхность для всех сферических звуковых волн, которые пуля испускала в предыдущие моменты времени на своем пути.

Представим, что в текущий момент времени $t$ пуля находится в точке А. В некий предыдущий момент времени $t - \Delta t$ пуля находилась в точке B. За время $\Delta t$ пуля пролетела расстояние, равное:

$AB = u \cdot \Delta t$

Звуковая волна, испущенная из точки B, за это же время $\Delta t$ распространилась во все стороны, образовав сферу. Радиус этой сферы равен:

$R = v \cdot \Delta t$

Фронт ударной волны в момент времени $t$ будет касаться этой сферической волны. Поскольку это справедливо для любой точки B на траектории пули, огибающая поверхность всех этих сфер будет иметь форму конуса с вершиной в точке A (текущем положении пули). Этот конус известен как конус Маха.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный вершиной конуса А, центром сферической волны B и точкой касания конуса и сферы. В этом треугольнике гипотенузой является отрезок AB, а катетом, противолежащим углу $\alpha$ (половинному углу при вершине конуса), является радиус R.

Тогда синус угла $\alpha$ можно выразить как отношение противолежащего катета к гипотенузе:

$\sin(\alpha) = \frac{R}{AB}$

Подставим выражения для R и AB:

$\sin(\alpha) = \frac{v \cdot \Delta t}{u \cdot \Delta t} = \frac{v}{u}$

Отсюда можно найти половинный угол при вершине конуса:

$\alpha = \arcsin\left(\frac{v}{u}\right)$

Полный угол при вершине конического фронта ударной волны будет равен $2\alpha$.

Таким образом, фронт ударной волны имеет форму конуса с углом при вершине $2 \arcsin\left(\frac{v}{u}\right)$.

Ответ: Фронт ударной волны имеет форму конической поверхности с углом при вершине $2 \arcsin\left(\frac{v}{u}\right)$.