Номер 14.2, страница 104 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Упражнения. 14. Молекулярно-кинетическая теория. Молекулярная физика. Молекулярная физика и термодинамика - номер 14.2, страница 104.

Условие.

14.2. В озеро со средней глубиной $h = 5,0 \text{ м}$ и площадью $S = 4,0 \text{ км}^2$ бросили кристаллик поваренной соли NaCl массой $m = 10 \text{ мг}$. Спустя очень длительное время из озера зачерпнули стакан воды объемом $V = 200 \text{ см}^3$. Сколько ионов натрия из брошенного кристаллика оказалось в этом стакане?

☑ 10⁹

Решение. Общее количество ионов натрия в данном кристалле $N_0 = mN_A/M$, где $\text{M}$ — молярная масса NaCl. За длительное время ионы натрия равномерно распределились по всему объему озера. Значит, концентрация этих ионов в стакане и в озере стала одинаковой: $N/V = N_0/(hS)$. Здесь $\text{N}$ — искомое количество ионов натрия в стакане.

Отсюда $N = \frac{mVN_A}{MhS} = 1,0 \cdot 10^9$.

Решение.

Дано:

Средняя глубина озера, $h = 5,0 \text{ м}$

Площадь озера, $S = 4,0 \text{ км}^2$

Масса кристаллика поваренной соли NaCl, $m = 10 \text{ мг}$

Объем воды в стакане, $V = 200 \text{ см}^3$

Постоянная Авогадро, $N_A \approx 6,02 \times 10^{23} \text{ моль}^{-1}$

Молярная масса NaCl, $M = M(\text{Na}) + M(\text{Cl}) \approx 23 + 35,5 = 58,5 \text{ г/моль}$

$S = 4,0 \text{ км}^2 = 4,0 \cdot (10^3 \text{ м})^2 = 4,0 \cdot 10^6 \text{ м}^2$
$m = 10 \text{ мг} = 10 \cdot 10^{-3} \text{ г} = 1,0 \cdot 10^{-5} \text{ кг}$
$V = 200 \text{ см}^3 = 200 \cdot (10^{-2} \text{ м})^3 = 200 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3 = 2,0 \cdot 10^{-4} \text{ м}^3$
$M = 58,5 \text{ г/моль} = 5,85 \cdot 10^{-2} \text{ кг/моль}$

Найти:

Количество ионов натрия в стакане, $N$

Решение:

Основное допущение задачи заключается в том, что по прошествии очень длительного времени кристаллик соли полностью растворяется, и его ионы равномерно распределяются по всему объему воды в озере. Это означает, что концентрация ионов натрия в любой точке озера, включая воду в стакане, будет одинаковой.

Концентрация частиц $c$ определяется как отношение их числа к объему, который они занимают. Таким образом, мы можем приравнять концентрацию ионов натрия в озере и в стакане:

$c_{озера} = c_{стакана}$

$\frac{N_0}{V_{озера}} = \frac{N}{V}$

где $N_0$ — общее количество ионов натрия, попавших в озеро из кристаллика, $V_{озера}$ — полный объем воды в озере, $N$ — искомое количество ионов натрия в стакане, а $V$ — объем воды в стакане.

Сначала найдем общее количество ионов натрия $N_0$. Молекула поваренной соли NaCl при растворении в воде диссоциирует на один ион натрия $Na^+$ и один ион хлора $Cl^-$. Следовательно, количество ионов натрия $N_0$ будет равно общему количеству молекул NaCl в кристаллике.

Количество вещества (число молей) NaCl равно:

$\nu = \frac{m}{M}$

Тогда общее число молекул NaCl (и, соответственно, ионов натрия) равно:

$N_0 = \nu \cdot N_A = \frac{m}{M} N_A$

Далее найдем объем озера, аппроксимируя его форму цилиндром с площадью основания $S$ и высотой (средней глубиной) $h$:

$V_{озера} = S \cdot h$

Теперь подставим полученные выражения в наше уравнение для концентраций и выразим искомое число ионов $N$:

$N = V \cdot \frac{N_0}{V_{озера}} = V \cdot \frac{\frac{m}{M} N_A}{S \cdot h} = \frac{m V N_A}{M S h}$

Подставим числовые значения всех величин в системе СИ:

$N = \frac{(1,0 \cdot 10^{-5} \text{ кг}) \cdot (2,0 \cdot 10^{-4} \text{ м}^3) \cdot (6,02 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1})}{(5,85 \cdot 10^{-2} \text{ кг/моль}) \cdot (4,0 \cdot 10^6 \text{ м}^2) \cdot (5,0 \text{ м})}$

$N = \frac{1,0 \cdot 2,0 \cdot 6,02}{5,85 \cdot 4,0 \cdot 5,0} \cdot \frac{10^{-5} \cdot 10^{-4} \cdot 10^{23}}{10^{-2} \cdot 10^6} = \frac{12,04}{117} \cdot \frac{10^{14}}{10^4} \approx 0,103 \cdot 10^{10} = 1,03 \cdot 10^9$

Исходные данные в задаче ($h$ и $S$) приведены с двумя значащими цифрами, поэтому результат следует округлить до двух значащих цифр.

$N \approx 1,0 \cdot 10^9$

Ответ: в стакане оказалось примерно $1,0 \cdot 10^9$ ионов натрия из брошенного кристаллика.