Номер 62, страница 108 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 14. Молекулярно-кинетическая теория. Молекулярная физика. Молекулярная физика и термодинамика - номер 62, страница 108.

Условие.

O-62. Основываясь на представлениях молекулярно-кинетической теории, оцените давление и температуру внутри Солнца. Масса Солнца $2 \cdot 10^{30}$ кг, радиус $7 \cdot 10^8$ м. Для оценки можно принять, что Солнце состоит в основном из атомарного водорода.

☑ $2 \cdot 10^{15}$ Па; $2 \cdot 10^7$ К.

Решение. Согласно молекулярно-кинетической теории давление газа $\text{p}$ связано с его температурой $\text{T}$ и концентрацией молекул $\text{n}$ соотношением $p = nkT$, отсюда $T = \frac{p}{nk}$.

Поскольку Солнце не расширяется и не сжимается, давление его внутренних слоев на любой глубине равно давлению вышележащих слоев, создаваемому действием силы тяжести $F: p = \frac{F}{S}$.

Отсюда следует, что для определения температуры на какой-то глубине внутри Солнца необходимо определить концентрацию атомов на этой глубине и давление вышележащих слоев $\text{p}$.

Для упрощения зададимся целью определить температуру на расстоянии $R/2$ от центра Солнца, где концентрацию атомов водорода можно считать приближенно равной среднему значению для Солнца: $n \approx n_{cp} = \frac{N}{V} = \frac{M_c N_A}{MV} = \frac{\rho N_A}{M}$.

Выделив вертикальный столб газа с площадью основания $\text{S}$, давление верхних слоев на лежащие ниже можно оценить, пренебрегая зависимостью плотности $\rho$ газа от глубины. Примем расстояние до центра масс верхней половины столба газа равным $\frac{3}{4}R$ и произведем расчет силы тяготения, пренебрегая отличием формы тяготеющих тел от точечных и шарообразных тел:

$F = G\frac{mM_c}{(\frac{3}{4}R)^2} = G\frac{\rho SM_c}{(\frac{3}{4})^2 R^2} = G\frac{\rho SM_c}{\frac{9}{8}R}$.

Тогда давление будет равно:

$p = \frac{F}{S} = G\frac{\rho M_c}{\frac{9}{8}R} = G\frac{M_c^2}{\frac{9}{8}\pi R^4} = G\frac{M_c^2}{\frac{3}{2}\pi R^3}$.

а температура: $T = \frac{p}{nk} = \frac{G \rho M_c M}{\frac{9}{8}R \rho N_A k} = \frac{G M_c M}{\frac{9}{8} R N_A k}$.

Подставив числовые значения, получим оценку давления и температуры:

$p = \frac{6,67 \cdot 10^{1} \cdot (2 \cdot 10^{30})^2}{\frac{3}{2} \cdot 3,14 \cdot (7 \cdot 10^8)^4} \approx 2 \cdot 10^{15}$ (Па).

$T = \frac{6,67 \cdot 10^{1} \cdot 2 \cdot 10^{30} \cdot 10^{-3}}{\frac{9}{8} \cdot 7 \cdot 10^8 \cdot 6 \cdot 10^{23} \cdot 1,38 \cdot 10^{-23}} \approx 2 \cdot 10^7$ (К).

Решение.

Дано:

Масса Солнца $M_C = 2 \cdot 10^{30}$ кг

Радиус Солнца $R = 7 \cdot 10^8$ м

Состав - атомарный водород

Молярная масса атомарного водорода $M = 1$ г/моль

Гравитационная постоянная $G \approx 6,67 \cdot 10^{-11}$ Н·м²/кг²

Постоянная Авогадро $N_A \approx 6,02 \cdot 10^{23}$ моль⁻¹

Постоянная Больцмана $k \approx 1,38 \cdot 10^{-23}$ Дж/К

Перевод в систему СИ:

$M = 1 \text{ г/моль} = 1 \cdot 10^{-3}$ кг/моль

Найти:

$p$ - давление внутри Солнца

$T$ - температура внутри Солнца

Решение:

Согласно молекулярно-кинетической теории, давление идеального газа $p$ связано с его температурой $T$ и концентрацией молекул $n$ соотношением:

$p = nkT$

Отсюда температуру можно выразить как:

$T = \frac{p}{nk}$

Солнце находится в состоянии гидростатического равновесия. Это означает, что давление его внутренних слоев на любой глубине уравновешивает вес вышележащих слоев, создаваемый силой тяжести. Давление можно оценить как $p = \frac{F}{S}$, где $F$ - сила тяжести, а $S$ - площадь.

Для оценки давления и температуры произведем расчет для точки, находящейся на расстоянии $\frac{R}{2}$ от центра Солнца. В качестве упрощающей модели, представленной в задаче, давление на этой глубине создается гравитационным притяжением верхних слоев к нижним. В данной модели сила притяжения, действующая на столб вещества, приближенно рассчитывается по формуле, которая приводит к следующему выражению для давления:

$p = G \frac{\rho M_C}{\frac{9}{8}R}$, где $\rho$ - средняя плотность Солнца.

Средняя плотность Солнца $\rho$ равна отношению его массы $M_C$ к объему $V = \frac{4}{3}\pi R^3$:

$\rho = \frac{M_C}{V} = \frac{M_C}{\frac{4}{3}\pi R^3}$

Подставим выражение для плотности в формулу для давления:

$p = G \frac{M_C}{\frac{9}{8}R} \cdot \frac{M_C}{\frac{4}{3}\pi R^3} = G \frac{M_C^2}{\frac{9 \cdot 4}{8 \cdot 3}\pi R^4} = G \frac{M_C^2}{\frac{3}{2}\pi R^4}$

Подставим числовые значения для оценки давления:

$p = \frac{6,67 \cdot 10^{-11} \cdot (2 \cdot 10^{30})^2}{\frac{3}{2} \cdot 3,14 \cdot (7 \cdot 10^8)^4} \approx 2 \cdot 10^{15}$ Па.

Теперь найдем температуру. Для этого нам нужна концентрация атомов водорода $n$. Будем использовать среднюю концентрацию по всему объему Солнца:

$n \approx n_{ср} = \frac{N}{V}$

где $N$ - общее число атомов. $N$ можно найти через массу Солнца $M_C$ и молярную массу водорода $M$:

$N = \frac{M_C}{M} N_A$

Тогда концентрация равна:

$n = \frac{M_C N_A}{M V} = \frac{\rho N_A}{M}$

Подставим выражения для давления $p$ и концентрации $n$ в формулу для температуры $T = \frac{p}{nk}$:

$T = \frac{G \frac{\rho M_C}{\frac{9}{8}R}}{\frac{\rho N_A}{M} k} = \frac{G M_C M}{\frac{9}{8}R N_A k}$

Подставим числовые значения:

$T = \frac{6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 2 \cdot 10^{30} \cdot 10^{-3}}{\frac{9}{8} \cdot 7 \cdot 10^8 \cdot 6,02 \cdot 10^{23} \cdot 1,38 \cdot 10^{-23}} \approx 2 \cdot 10^7$ К.

Ответ: Оценочное давление внутри Солнца составляет $p \approx 2 \cdot 10^{15}$ Па, а температура $T \approx 2 \cdot 10^7$ К.