Номер 65, страница 115 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 15. Уравнение состояния идеального газа. Молекулярная физика. Молекулярная физика и термодинамика - номер 65, страница 115.

Условие.

O-65. Пробирка массой $\text{m}$ содержит один моль идеального газа массой $\text{M}$ при температуре $\text{T}$. Пробирка находится в вакууме и закрыта очень легкой пробкой. Оцените скорость пробирки после того, как пробка вылетит из бутылки и весь газ выйдет из пробирки наружу.

☑ $ u = \frac{1}{m}\sqrt{m_r RT}$.

Решение.

Направим ось ОХ вдоль оси пробирки. Половина общего числа молекул газа имеют проекцию скорости $v_x > 0$. Эти молекулы вылетят из пробирки, не столкнувшись с ее дном, и поэтому не передадут пробирке импульс. Другая половина молекул столкнется с дном пробирки. При этом составляющая скорости молекулы вдоль пробирки изменится на противоположную, в результате чего каждая молекула в среднем передаст пробирке импульс $2m_0 \overline{|v_x|}$, где $m_0$ — масса молекулы газа, $\overline{|v_x|}$ — среднее значение модуля проекции скорости. Вследствие столкновений с молекулами газа пробирка получит импульс $mu = 2m_0 \overline{|v_x|} N_A/2$, где $\text{u}$ — проекция скорости пробирки. Поскольку $\overline{v_x^2} = \frac{\overline{v^2}}{3}$, а $\overline{v^2} = \frac{3kT}{m_0}$, получим, считая $\overline{|v_x|} \approx \sqrt{\overline{v_x^2}}$, что $mu = m_0 N_A \sqrt{\frac{kT}{m_0}}$.

Отсюда получаем $u = \frac{1}{m}\sqrt{(m_0 N_A) \cdot (k N_A) \cdot T} = \frac{1}{m}\sqrt{m_r RT}$, где $m_r$ — масса газа в пробирке.

Решение.

Дано:

Масса пробирки: $m$

Количество вещества идеального газа: $\nu = 1$ моль

Масса идеального газа: $m_г$ (в условии задачи обозначена как $M$)

Температура газа: $T$

Найти:

Скорость пробирки $u$ после выхода всего газа.

Решение:

Задача решается с помощью закона сохранения импульса. Изначально система «пробирка + газ» покоится, её суммарный импульс равен нулю. Так как система является замкнутой (пробирка находится в вакууме, внешние силы отсутствуют), её суммарный импульс должен оставаться равным нулю и после того, как газ выйдет наружу.

Закон сохранения импульса для системы «пробирка + газ»:

$\vec{P}_{нач} = \vec{P}_{кон}$

$0 = \vec{P}_{пробирки} + \vec{P}_{газа}$

Отсюда следует, что импульс, приобретенный пробиркой, равен по модулю и противоположен по направлению суммарному импульсу, унесённому газом:

$|\vec{P}_{пробирки}| = |\vec{P}_{газа}|$

Направим ось OX вдоль оси пробирки в сторону её открытого конца. Тогда пробирка будет двигаться в отрицательном направлении оси OX, а газ – в положительном. Импульс пробирки по модулю равен $P_{пробирки} = mu$.

Импульс пробирке сообщается за счет взаимодействия с молекулами газа. Рассмотрим этот процесс с точки зрения молекулярной физики. Молекулы газа, которые изначально двигались в сторону открытого конца пробирки (проекция их скорости $v_x > 0$), вылетают, не взаимодействуя с дном пробирки. Молекулы же, которые двигались в сторону дна ($v_x < 0$), упруго сталкиваются с ним, меняют направление своей скорости на противоположное и только после этого вылетают из пробирки. Именно эти столкновения и сообщают импульс пробирке.

В среднем половина всех молекул газа столкнется с дном. Общее число молекул в одном моле газа равно числу Авогадро $N_A$. Следовательно, число столкновений будет равно $N_A/2$.

Пусть $m_0$ – масса одной молекулы. При упругом столкновении со стенкой проекция скорости молекулы на ось OX меняется с $-v_x$ на $+v_x$. Изменение импульса одной молекулы при таком столкновении равно:

$\Delta p_{мол} = p_{кон} - p_{нач} = m_0v_x - (-m_0v_x) = 2m_0v_x$

Согласно третьему закону Ньютона, импульс, переданный пробирке при одном таком столкновении, равен по модулю $2m_0v_x$ и направлен в противоположную сторону. Чтобы найти суммарный импульс, полученный пробиркой, нужно просуммировать импульсы от всех столкновений. Для оценки мы можем использовать среднее значение модуля проекции скорости $\overline{|v_x|}$:

$P_{пробирки} = \frac{N_A}{2} \cdot 2m_0 \overline{|v_x|} = N_A m_0 \overline{|v_x|}$

Таким образом, получаем равенство:

$mu = N_A m_0 \overline{|v_x|}$

Теперь оценим величину $\overline{|v_x|}$. Из молекулярно-кинетической теории известно, что средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы, приходящаяся на одну степень свободы, равна $\frac{1}{2}kT$, где $k$ – постоянная Больцмана.

$\frac{1}{2}m_0 \overline{v_x^2} = \frac{1}{2}kT$

Отсюда среднеквадратичное значение проекции скорости:

$\sqrt{\overline{v_x^2}} = \sqrt{\frac{kT}{m_0}}$

Для оценки будем считать, что среднее значение модуля проекции скорости примерно равно среднеквадратичному значению:

$\overline{|v_x|} \approx \sqrt{\overline{v_x^2}} = \sqrt{\frac{kT}{m_0}}$

Подставим это выражение в уравнение для импульса:

$mu = N_A m_0 \sqrt{\frac{kT}{m_0}}$

Выразим величины через макроскопические параметры. Масса газа $m_г$ для одного моля равна $m_г = N_A m_0$. Универсальная газовая постоянная $R$ связана с постоянной Больцмана как $R = N_A k$. Преобразуем правую часть уравнения:

$N_A m_0 \sqrt{\frac{kT}{m_0}} = \sqrt{(N_A m_0)^2 \frac{kT}{m_0}} = \sqrt{N_A^2 m_0 k T} = \sqrt{(N_A m_0) \cdot (N_A k) \cdot T}$

Подставляя $m_г$ и $R$, получаем:

$mu = \sqrt{m_г R T}$

Отсюда находим искомую скорость пробирки $u$:

$u = \frac{1}{m}\sqrt{m_г R T}$

Ответ: $u = \frac{1}{m}\sqrt{m_г R T}$