Номер 16.2, страница 118 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Молекулярная физика и термодинамика. Молекулярная физика. 16. Газовые законы. Упражнения - номер 16.2, страница 118.

Условие.

16.2. Открытую с двух концов вертикальную стеклянную трубку длиной $l = 0,5$ м наполовину погружают в ртуть. Затем трубку закрывают сверху и вынимают. Какова длина $\text{x}$ оставшегося в трубке столбика ртути? Атмосферное давление $H = 750$ \text{мм рт. ст.}

☑ $x = 17 \text{см}$

Решение. При решении подобных задач удобно измерять давление высотой столба той же жидкости, которая рассматривается в задаче (в данном случае — ртути). Когда трубку вынимают из ртути, воздух в ней изотермически расширяется от объема $lS/2$ до объема $(l - x)S$, где $\text{S}$ — площадь сечения трубки. Начальное давление в трубке равно атмосферному, т. е. $\rho gH$, где $\rho$ — плотность ртути, а конечное — меньше атмосферного на величину $\rho gx$. Из закона Бойля-Мариотта следует: $\rho gH \cdot lS/2 = (\rho gH - \rho gx)(l - x)S$ откуда $x = \frac{H+l}{2} - \frac{1}{2}\sqrt{H^2 + l^2} = 0,17$ \text{м} (отрицательный корень квадратного уравнения не имеет физического смысла).

Решение.

Дано:

Длина трубки $l = 0.5$ м
Атмосферное давление $H = 750$ мм рт. ст.

Перевод в систему СИ:
$H = 750 \text{ мм рт. ст.} = 0.75 \text{ м рт. ст.}$

Найти:

Длина столбика ртути $x$

Решение:

Рассмотрим два состояния воздуха, запертого в трубке. Процесс изменения состояния воздуха считаем изотермическим, так как температура по условию не меняется. Следовательно, мы можем применить закон Бойля-Мариотта $P_1V_1 = P_2V_2$.

Состояние 1: Трубка наполовину ($l/2$) погружена в ртуть, верхний конец открыт.
В этом состоянии в верхней части трубки находится столб воздуха. Его объем $V_1 = S \cdot \frac{l}{2}$, где $S$ — площадь поперечного сечения трубки. Давление этого воздуха равно атмосферному, так как трубка открыта сверху. Будем измерять давление в метрах ртутного столба, тогда начальное давление воздуха $P_1 = H$.

Состояние 2: Верхний конец трубки закрыли и ее вынули из ртути.
Внутри трубки остался столбик ртути высотой $x$. Над ним находится воздух, который расширился и теперь занимает объем $V_2 = S(l - x)$. Давление воздуха стало $P_2$. Это давление $P_2$ вместе с давлением столбика ртути $x$ уравновешивает внешнее атмосферное давление $H$. Таким образом, $P_2 + x = H$, откуда конечное давление воздуха $P_2 = H - x$.

Применим закон Бойля-Мариотта, подставив выражения для давлений и объемов:
$P_1 V_1 = P_2 V_2$
$H \cdot S \frac{l}{2} = (H - x) \cdot S(l - x)$

Площадь сечения $S$ сокращается:
$\frac{Hl}{2} = (H - x)(l - x)$

Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:
$\frac{Hl}{2} = Hl - Hx - lx + x^2$
$x^2 - (H + l)x + \frac{Hl}{2} = 0$

Подставим числовые значения ($H = 0.75$ м, $l = 0.5$ м):
$x^2 - (0.75 + 0.5)x + \frac{0.75 \cdot 0.5}{2} = 0$
$x^2 - 1.25x + 0.1875 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-1.25)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0.1875 = 1.5625 - 0.75 = 0.8125$
Корни уравнения:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1.25 \pm \sqrt{0.8125}}{2} \approx \frac{1.25 \pm 0.9014}{2}$

Получаем два математически верных решения:
$x_1 \approx \frac{1.25 + 0.9014}{2} \approx 1.076$ м
$x_2 \approx \frac{1.25 - 0.9014}{2} \approx 0.1743$ м

Выберем физически осмысленный корень. Длина столбика ртути $x$ не может быть больше длины всей трубки $l=0.5$ м. Поэтому корень $x_1 \approx 1.076$ м не имеет физического смысла. Также давление воздуха $P_2=H-x$ должно быть положительным, что не выполняется для $x_1$.
Следовательно, верным является второй корень: $x \approx 0.1743$ м.

Переведем результат в сантиметры и округлим:
$x \approx 0.17$ м $= 17$ см.

Ответ: $x = 17 \text{ см}$.