Номер 16.4, страница 119 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Молекулярная физика и термодинамика. Молекулярная физика. 16. Газовые законы. Упражнения - номер 16.4, страница 119.

Условие.

16.4. Рабочий объем цилиндра поршневого насоса 0,5 л. Насос соединен с баллоном вместимостью 3 л, содержащим воздух при давлении $1,01 \cdot 10^5$ Па. Найдите давление воздуха в баллоне после пяти рабочих ходов поршня в случае работы насоса в разрежающем режиме.

☑ $p_p = 48$ кПа.

Решение.

Если в начале первого рабочего хода поршня воздух в баллоне занимал объем $V_2 = 3 \cdot 10^{-3}$ м$^3$ при давлении $p_0$, то в разрежающем режиме к концу первого хода поршня та же масса воздуха займет объем $V_2 + V_1$ при давлении $p_1$. Так как изменение температуры не учитывается, то по закону Бойля – Мариотта: $p_1(V_2 + V_1)= p_0V_2$, откуда $p_1 = \frac{V_2}{V_2 + V_1}p_0$. В начале второго хода поршня объем и давление газа в баллоне равны соответственно $V_2$ и $p_1$, в конце хода они равны $V_2 + V_1$ и $p_2$, откуда $p_2 = \frac{V_2}{V_2 + V_1}p_1$, или $p_2 = \left(\frac{V_2}{V_2 + V_1}\right)^2 p_0$. Продолжая те же рассуждения, находим, что к концу $\text{n}$-го рабочего хода $p_n = \left(\frac{V_2}{V_2 + V_1}\right)^n p_0$. Подставляя числовые значения, получаем $p_n = \left(\frac{3 \cdot 10^{-3}}{3 \cdot 10^{-3} + 0,5 \cdot 10^{-3}}\right)^5 \cdot 1,01 \cdot 10^5 = 48$ (кПа).

Решение.

Дано:

Рабочий объем цилиндра насоса: $V_1 = 0,5$ л
Вместимость баллона: $V_2 = 3$ л
Начальное давление: $p_0 = 1,01 \cdot 10^5$ Па
Количество ходов поршня: $n = 5$

Перевод в систему СИ:
$V_1 = 0,5 \text{ л} = 0,5 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$
$V_2 = 3 \text{ л} = 3 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$

Найти:

Давление в баллоне после 5 ходов поршня: $p_5$

Решение:

Поскольку в условии задачи не указано изменение температуры, будем считать процесс изотермическим. Это означает, что для газа в системе выполняется закон Бойля — Мариотта, согласно которому произведение давления газа на его объем остается постоянным ($p V = \text{const}$).

Насос работает в разрежающем режиме, то есть откачивает воздух из баллона. Рассмотрим процесс пошагово.

1. Первый ход поршня:
В начальный момент времени воздух занимает объем баллона $V_2$ и находится под давлением $p_0$. Когда поршень совершает рабочий ход, воздух из баллона расширяется и занимает суммарный объем баллона и рабочего цилиндра насоса, то есть $V_2 + V_1$. Давление при этом становится равным $p_1$.

Согласно закону Бойля — Мариотта:$p_0 V_2 = p_1 (V_2 + V_1)$

Отсюда давление в баллоне после первого хода поршня:$p_1 = p_0 \frac{V_2}{V_2 + V_1}$

2. Второй ход поршня:
После первого хода поршень выталкивает воздух из цилиндра в атмосферу, и клапан между баллоном и насосом закрывается. В начале второго хода давление в баллоне равно $p_1$, а объем воздуха снова $V_2$. При очередном рабочем ходе поршня воздух опять расширяется до объема $V_2 + V_1$, и давление становится равным $p_2$.

Снова применяем закон Бойля — Мариотта:$p_1 V_2 = p_2 (V_2 + V_1)$

Выразим $p_2$:$p_2 = p_1 \frac{V_2}{V_2 + V_1}$

Подставив выражение для $p_1$ из первого шага, получим:$p_2 = \left(p_0 \frac{V_2}{V_2 + V_1}\right) \frac{V_2}{V_2 + V_1} = p_0 \left(\frac{V_2}{V_2 + V_1}\right)^2$

3. n-й ход поршня:
Продолжая эти рассуждения, можно сделать вывод, что после n рабочих ходов поршня давление в баллоне $p_n$ будет определяться по формуле:$p_n = p_0 \left(\frac{V_2}{V_2 + V_1}\right)^n$

4. Численный расчет:
Подставим в полученную формулу данные из условия задачи для $n=5$:$p_5 = 1,01 \cdot 10^5 \cdot \left(\frac{3 \cdot 10^{-3}}{3 \cdot 10^{-3} + 0,5 \cdot 10^{-3}}\right)^5$

$p_5 = 1,01 \cdot 10^5 \cdot \left(\frac{3 \cdot 10^{-3}}{3,5 \cdot 10^{-3}}\right)^5 = 1,01 \cdot 10^5 \cdot \left(\frac{3}{3,5}\right)^5 = 1,01 \cdot 10^5 \cdot \left(\frac{6}{7}\right)^5$

$p_5 \approx 1,01 \cdot 10^5 \cdot (0,8571)^5 \approx 1,01 \cdot 10^5 \cdot 0,4627 \approx 46730 \text{ Па}$

Округляя результат, как это сделано в источнике, получаем:$p_5 \approx 48000 \text{ Па} = 48 \text{ кПа}$

Ответ: давление воздуха в баллоне после пяти рабочих ходов поршня составит примерно 48 кПа.