Номер 68, страница 117 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 15. Уравнение состояния идеального газа. Молекулярная физика. Молекулярная физика и термодинамика - номер 68, страница 117.

Условие.

О-68. Герметически закрытый бак высотой $h = 5,0 \text{ м}$ заполнен водой доверху. На дне его находится пузырек воздуха. Давление у дна $p_0 = 0,15 \text{ МПа}$. Каким станет давление $\text{p}$ у дна, если пузырек всплывет? Стенки бака считайте абсолютно жесткими, воду — несжимаемой.

☑ $p = 0,20 \text{ МПа}$.

Решение. При всплытии объем пузырька не может измениться — ведь это привело бы к изменению объема воды или общего объема бака. Температура в системе, очевидно, тоже не меняется. Но тогда и давление в пузырьке не может измениться! Значит, у верхней крышки бака давление станет равным $p_0$. А давление $\text{p}$ на дно бака станет равным $p_0 + \rho gh = 0,20 \text{ МПа}$. Напомним, однако, что на самом деле всякая реальная жидкость сжимаема. Если объем бака достаточно велик, изменение объема воды окажется сравнимым с объемом пузырька.

Решение.

Дано:

Высота бака: $h = 5,0 \text{ м}$

Начальное давление у дна: $p_0 = 0,15 \text{ МПа}$

Плотность воды: $\rho = 1000 \text{ кг/м}^3$

Ускорение свободного падения: $g \approx 10 \text{ м/с}^2$

Перевод в СИ:

$p_0 = 0,15 \text{ МПа} = 0,15 \cdot 10^6 \text{ Па}$

Найти:

Конечное давление у дна: $p$

Решение:

В начальном состоянии пузырек воздуха находится на дне бака. Давление внутри пузырька равно давлению окружающей его воды на этой глубине, то есть $p_0$.

Согласно условиям задачи, бак герметически закрыт, его стенки абсолютно жесткие, а вода является несжимаемой жидкостью. Это означает, что общий объем системы, состоящей из воды и пузырька, остается постоянным. Поскольку объем воды постоянен (из-за несжимаемости), объем пузырька воздуха $V_{\text{п}}$ также должен оставаться неизменным при его перемещении со дна к поверхности.

$V_{\text{п}} = \text{const}$

Будем считать процесс всплытия изотермическим, то есть температура воздуха в пузырьке не меняется ($T = \text{const}$). Согласно уравнению состояния идеального газа $pV=nRT$, если количество газа ($n$), его объем ($V$) и температура ($T$) постоянны, то и давление газа ($p$) также должно оставаться постоянным.

Следовательно, давление внутри пузырька в процессе всплытия не изменится и останется равным начальному давлению на дне, $p_0$.

Когда пузырек всплывет к верхней крышке бака, он окажется у поверхности воды. Давление в воде на этом уровне, $p_{\text{верх}}$, станет равным давлению внутри пузырька:

$p_{\text{верх}} = p_0$

Новое давление $p$ на дне бака будет равно сумме давления на верхней поверхности воды $p_{\text{верх}}$ и гидростатического давления столба воды высотой $h$:

$p = p_{\text{верх}} + \rho g h$

Подставив $p_{\text{верх}} = p_0$, получаем формулу для конечного давления на дне:

$p = p_0 + \rho g h$

Рассчитаем величину гидростатического давления:

$\rho g h = 1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 5,0 \text{ м} = 50000 \text{ Па} = 0,05 \cdot 10^6 \text{ Па} = 0,05 \text{ МПа}$

Теперь вычислим итоговое давление на дне:

$p = 0,15 \text{ МПа} + 0,05 \text{ МПа} = 0,20 \text{ МПа}$

Ответ: давление у дна станет равным $0,20 \text{ МПа}$.