Номер 15.7, страница 114 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Упражнения. 15. Уравнение состояния идеального газа. Молекулярная физика. Молекулярная физика и термодинамика - номер 15.7, страница 114.

Условие.

15.7. Баллон с газом разделен на две части теплоизолирующей перегородкой с очень малым отверстием*. По разные стороны перегородки все время поддерживаются температуры $T_1$ и $T_2$. Каково отношение давлений $p_1$ и $p_2$ в различных частях баллона?

☑ $\frac{p_1}{p_2} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$

Решение. В рассматриваемой ситуации нет теплового равновесия: в разных частях баллона поддерживаются различные температуры. Чтобы число молекул в каждой части баллона оставалось неизменным, должны быть равны количества $Z_1$ и $Z_2$ молекул, пролетающих через отверстие в одну и другую сторону за одно и то же время $\Delta t$. Каждую из величин $\text{Z}$ можно записать в виде $Z = \frac{1}{2}n\overline{|v_x|}S\Delta t$, где $n = \frac{p}{kT}$ — концентрация молекул, $\text{S}$ — площадь отверстия; ось $\text{x}$ перпендикулярна перегородке. Поскольку $\overline{|v_x|} \sim \sqrt{\frac{RT}{M}}$, величина $\text{Z}$ прямо пропорциональна $\frac{p}{\sqrt{T}}$.Отсюда $\frac{p_1}{\sqrt{T_1}} = \frac{p_2}{\sqrt{T_2}}$ и $\frac{p_1}{p_2} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$. Интересно, что при этом $\frac{n_1}{n_2} = \frac{p_2}{p_1}$, т. е. концентрация молекул больше в той части баллона, где давление меньше.

Решение.

Дано:

Баллон разделен на две части (1 и 2) теплоизолирующей перегородкой с малым отверстием.

Температуры в частях поддерживаются постоянными: $T_1$ и $T_2$.

Давления в частях: $p_1$ и $p_2$.

Система находится в стационарном состоянии.

Найти:

Отношение давлений $\frac{p_1}{p_2}$.

Решение:

В данной системе нет полного теплового равновесия, так как температуры в двух частях баллона различны. Однако система находится в стационарном (установившемся) состоянии. Это означает, что макроскопические параметры, такие как давление, температура и число молекул в каждой части, не изменяются со временем. Для того чтобы число молекул в каждой части оставалось постоянным, необходимо, чтобы поток молекул из части 1 в часть 2 был равен потоку молекул из части 2 в часть 1.

Пусть $Z_1$ — количество молекул, пролетающих из части 1 в часть 2 через отверстие за время $\Delta t$, а $Z_2$ — количество молекул, пролетающих из части 2 в часть 1 за то же время. Условие стационарности записывается как:

$Z_1 = Z_2$

Число молекул, проходящих через отверстие площадью $S$ за время $\Delta t$, можно выразить формулой из кинетической теории газов:

$Z = \frac{1}{2} n |\overline{v_x}| S \Delta t$

где $n$ — концентрация молекул, а $|\overline{v_x}|$ — среднее значение модуля компоненты скорости молекул, перпендикулярной плоскости отверстия.

Применяя эту формулу для каждой части, получаем:

$Z_1 = \frac{1}{2} n_1 |\overline{v_{x1}}| S \Delta t$

$Z_2 = \frac{1}{2} n_2 |\overline{v_{x2}}| S \Delta t$

Приравнивая $Z_1$ и $Z_2$, и сокращая общие множители $(\frac{1}{2}, S, \Delta t)$, получаем:

$n_1 |\overline{v_{x1}}| = n_2 |\overline{v_{x2}}|$

Теперь выразим концентрацию $n$ и среднюю скорость $|\overline{v_x}|$ через макроскопические параметры — давление $p$ и температуру $T$.

Из уравнения состояния идеального газа $p=nkT$ (где $k$ — постоянная Больцмана) следует, что концентрация молекул $n = \frac{p}{kT}$.

Средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул связана с температурой: $\frac{m \overline{v_x^2}}{2} = \frac{kT}{2}$. Отсюда среднеквадратичная скорость $v_{x,rms} = \sqrt{\overline{v_x^2}} = \sqrt{\frac{kT}{m}}$. Средний модуль скорости $|\overline{v_x}|$ пропорционален среднеквадратичной скорости, следовательно, $|\overline{v_x}| \propto \sqrt{T}$.

Подставим выражения для $n$ и $|\overline{v_x}|$ в наше равенство:

$\frac{p_1}{kT_1} \cdot C\sqrt{T_1} = \frac{p_2}{kT_2} \cdot C\sqrt{T_2}$

где $C$ — константа пропорциональности. Сократив одинаковые множители $C$ и $k$, получаем:

$\frac{p_1}{\sqrt{T_1}} = \frac{p_2}{\sqrt{T_2}}$

Отсюда находим искомое отношение давлений:

$\frac{p_1}{p_2} = \frac{\sqrt{T_1}}{\sqrt{T_2}} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$

Ответ: $\frac{p_1}{p_2} = \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}$