Номер 71, страница 125 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

О-71. Докажите, что подъемная сила аэростата с герметичной эластичной оболочкой, наполненной более легким газом, чем воздух, не зависит от высоты подъема аэростата при любом законе изменения давления с высотой. Считайте, что температура газа в аэростате равна температуре окружающего воздуха.

Решение. Подъемная сила аэростата $F = (\rho_1 - \rho_2)gV$, где $\text{V}$ — объем оболочки, $\rho_1$ — плотность атмосферного воздуха на той высоте, где находится аэростат, и $\rho_2$ — плотность наполняющего аэростат газа.

Из уравнения Менделеева-Клапейрона следует, что $p = \frac{\rho}{M}RT$. Так как оболочка аэростата эластичная, можно пренебречь разностью давлений внутри и вне аэростата.

Поэтому $\frac{\rho_1}{M_1}RT = \frac{\rho_2}{M_2}RT$, или $\frac{\rho_1}{M_1} = \frac{\rho_2}{M_2}$. Но $\rho_2 = \frac{m_2}{V}$, где $m_2$ — масса наполняющего аэростат газа.

Поэтому $\rho_1V = \frac{M_1}{M_2}m_2$. Подставив это выражение в формулу для подъемной силы, получаем: $F = m_2g\left(\frac{M_1}{M_2} - 1\right)$. Отсюда видно, что подъемная сила аэростата не зависит от высоты.

Решение

Подъемная сила аэростата $F$ есть разность между выталкивающей силой Архимеда, действующей на объем аэростата, и силой тяжести газа, наполняющего его оболочку. Она выражается формулой:

$F = (\rho_1 - \rho_2)gV$

где $V$ — объем оболочки аэростата, $g$ — ускорение свободного падения, $\rho_1$ — плотность атмосферного воздуха на той высоте, где находится аэростат, и $\rho_2$ — плотность наполняющего аэростат газа.

Связь между давлением $p$, плотностью $\rho$ и температурой $T$ для идеального газа дается уравнением Менделеева-Клапейрона, которое можно представить в виде:

$p = \frac{\rho}{M}RT$

где $M$ — молярная масса газа, а $R$ — универсальная газовая постоянная.

Согласно условиям задачи:

1. Оболочка эластичная, что означает, что давление газа внутри аэростата равно давлению окружающего воздуха. Таким образом, $p_1 = p_2 = p$.

2. Температура газа в аэростате равна температуре окружающего воздуха. Таким образом, $T_1 = T_2 = T$.

3. Оболочка герметичная, следовательно, масса газа $m_2$ внутри аэростата постоянна.

Применим уравнение состояния к воздуху (с молярной массой $M_1$) и к газу в аэростате (с молярной массой $M_2$):

$p = \frac{\rho_1}{M_1}RT$

$p = \frac{\rho_2}{M_2}RT$

Поскольку левые части уравнений равны (давления одинаковы), мы можем приравнять их правые части:

$\frac{\rho_1}{M_1}RT = \frac{\rho_2}{M_2}RT$

Сократив $RT$ (так как $T \neq 0$), получаем соотношение между плотностями:

$\frac{\rho_1}{M_1} = \frac{\rho_2}{M_2}$, или $\rho_1 = \rho_2 \frac{M_1}{M_2}$

Теперь подставим это выражение для $\rho_1$ в исходную формулу для подъемной силы:

$F = (\rho_2 \frac{M_1}{M_2} - \rho_2)gV = \rho_2 \left(\frac{M_1}{M_2} - 1\right)gV$

Плотность газа внутри аэростата $\rho_2$ определяется его массой $m_2$ и объемом $V$: $\rho_2 = \frac{m_2}{V}$. Подставим это в полученное выражение для силы:

$F = \frac{m_2}{V} \left(\frac{M_1}{M_2} - 1\right)gV$

Объем $V$ в числителе и знаменателе сокращается, и мы получаем окончательное выражение:

$F = m_2g\left(\frac{M_1}{M_2} - 1\right)$

В этой итоговой формуле все величины являются постоянными: $m_2$ — масса газа (оболочка герметична), $g$ — ускорение свободного падения (можно считать постоянным в пределах высот полета аэростата), $M_1$ — молярная масса воздуха, $M_2$ — молярная масса газа. Таким образом, подъемная сила $F$ не зависит от высоты, а следовательно, и от изменения давления и температуры с высотой.

Ответ:

Подъемная сила аэростата определяется выражением $F = m_2g\left(\frac{M_1}{M_2} - 1\right)$, в которое входят только постоянные величины. Следовательно, она не зависит от высоты подъема. Что и требовалось доказать.