Номер 17.2, страница 126 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Молекулярная физика и термодинамика. Термодинамика. 17. Законы термодинамики. Упражнения - номер 17.2, страница 126.

Условие.

17.2. Объем некоторой массы газа увеличивается вдвое. В каком случае газ совершает бо́льшую работу — при изобарном расширении или при изотермическом?

☑ При изобарном расширении.

Решение. Работа газа при небольшом изменении объема $\Delta A' = p \Delta V$. Поскольку при изотермическом расширении давление падает, в этом случае совершается меньшая работа. Особенно нагляден этот вывод при рассмотрении графиков обоих процессов в координатах $p, V$ (см. рисунок). Площадь фигуры под графиком 1 численно равна работе при изобарном расширении; площадь фигуры под графиком 2 соответствует работе при изотермическом расширении.

Решение.

Дано:

Начальный объем газа: $V_1 = V_0$

Конечный объем газа: $V_2 = 2V_0$

Процесс 1: Изобарное расширение ($p_1 = const$)

Процесс 2: Изотермическое расширение ($T_2 = const$)

Начальные параметры (давление, объем, температура) для обоих процессов одинаковы.

Найти:

Сравнить работу газа, совершенную при изобарном расширении ($A_{изоб}$) и при изотермическом расширении ($A_{изот}$).

Решение:

Работу газа в термодинамическом процессе можно определить двумя способами: по формуле для конкретного процесса или графически, как площадь под графиком процесса в координатах $p-V$.

1. Графический метод.

Рассмотрим графики обоих процессов в координатах $p-V$. Оба процесса начинаются из одной и той же точки с параметрами $(V_0, p_0)$.

Процесс 1 (изобарное расширение) представляет собой горизонтальную линию, так как давление постоянно ($p = p_0$) при увеличении объема от $V_0$ до $2V_0$. Работа $A_{изоб}$ численно равна площади прямоугольника под этой линией.

Процесс 2 (изотермическое расширение) описывается законом Бойля — Мариотта: $pV = const$. Графиком этого процесса является гипербола. При увеличении объема от $V_0$ до $2V_0$ давление газа будет уменьшаться. Таким образом, кривая изотермического расширения будет лежать ниже прямой изобарного расширения на всем промежутке изменения объема (кроме начальной точки).

Работа $A_{изот}$ численно равна площади под кривой изотермы.

Как видно из рисунка, площадь под графиком изобарного процесса (прямоугольник) больше, чем площадь под графиком изотермического процесса. Следовательно, $A_{изоб} > A_{изот}$.

2. Аналитический метод (с помощью формул).

Найдем работу для каждого процесса.

Для изобарного процесса (1) работа вычисляется по формуле:

$A_{изоб} = p_0 \Delta V = p_0 (V_2 - V_1) = p_0 (2V_0 - V_0) = p_0 V_0$

Для изотермического процесса (2) работа вычисляется по формуле:

$A_{изот} = \nu R T \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right)$

Из уравнения состояния идеального газа для начального состояния имеем $p_0 V_0 = \nu R T$. Подставим это в формулу для работы:

$A_{изот} = p_0 V_0 \ln\left(\frac{2V_0}{V_0}\right) = p_0 V_0 \ln(2)$

Теперь сравним полученные значения работы:

$A_{изоб} = p_0 V_0$

$A_{изот} = p_0 V_0 \ln(2)$

Поскольку натуральный логарифм числа 2 ( $\ln(2) \approx 0.693$ ) меньше 1, то $A_{изот} < A_{изоб}$.

Оба метода приводят к одному и тому же выводу: газ совершает большую работу при изобарном расширении.

Ответ: Газ совершает большую работу при изобарном расширении.