Номер 17.6, страница 128 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Упражнения. 17. Законы термодинамики. Термодинамика. Молекулярная физика и термодинамика - номер 17.6, страница 128.

Условие.

17.6. Чему равны молярные теплоемкости одноатомного идеального газа при постоянном объеме $C_v$ и при постоянном давлении $C_p$? Найдите их отношение $\gamma = C_p/C_v$. Каково примерное значение этого отношения для жидкости?

☑ $C_v = 3R/2$, $C_p = 5R/2$; $\gamma = 5/3$. Для жидкости $\gamma$ практически равно единице.

Решение. При постоянном объеме $Q = \Delta U$, поэтому $C_v = \Delta U/(\nu \Delta T)$ (см. задачу 17.5). Для одноатомного идеального газа $U = 3\nu RT/2$, поэтому $C_v = 3R/2$. Тогда $C_p = C_v + R = 5R/2$ и $\gamma = 5/3$. Разность между $C_p$ и $C_v$ обусловлена работой, совершаемой газом при изобарном расширении. Жидкость при нагревании расширяется настолько незначительно, что можно считать $\gamma = 1$.

Решение.

Решение

Молярные теплоемкости одноатомного идеального газа $C_V$ и $C_p$

Молярная теплоемкость при постоянном объеме $C_V$ определяется как количество теплоты $Q$, необходимое для нагревания 1 моля газа на 1 Кельвин при постоянном объеме. Согласно первому закону термодинамики, $Q = \Delta U + A$, где $\Delta U$ – изменение внутренней энергии, а $A$ – работа, совершаемая газом. При постоянном объеме (изохорный процесс) работа газа равна нулю ($A=0$), поэтому вся подводимая теплота идет на увеличение внутренней энергии: $Q_V = \Delta U$.

Из определения молярной теплоемкости: $C_V = \frac{Q_V}{\nu \Delta T} = \frac{\Delta U}{\nu \Delta T}$, где $\nu$ – количество вещества, $\Delta T$ – изменение температуры.

Внутренняя энергия одноатомного идеального газа, имеющего три поступательные степени свободы, зависит только от температуры и равна $U = \frac{3}{2}\nu RT$, где $R$ – универсальная газовая постоянная. Тогда изменение внутренней энергии составляет $\Delta U = \frac{3}{2}\nu R \Delta T$.

Подставим выражение для $\Delta U$ в формулу для $C_V$:
$C_V = \frac{\frac{3}{2}\nu R \Delta T}{\nu \Delta T} = \frac{3}{2}R$.

Молярная теплоемкость при постоянном давлении $C_p$ связана с $C_V$ уравнением Майера для идеального газа: $C_p = C_V + R$. Это соотношение возникает из-за того, что при постоянном давлении (изобарный процесс) подводимое тепло идет не только на изменение внутренней энергии (как при постоянном объеме), но и на совершение газом работы при расширении ($A = p\Delta V = \nu R \Delta T$).

Подставив найденное значение $C_V$, получим:
$C_p = \frac{3}{2}R + R = \frac{5}{2}R$.

Ответ: Молярная теплоемкость одноатомного идеального газа при постоянном объеме равна $C_V = \frac{3}{2}R$, а при постоянном давлении – $C_p = \frac{5}{2}R$.

Отношение теплоемкостей $\gamma$

Отношение молярных теплоемкостей, также известное как показатель адиабаты $\gamma$ (или коэффициент Пуассона), вычисляется по формуле:
$\gamma = \frac{C_p}{C_V}$.

Подставим найденные значения для одноатомного идеального газа:
$\gamma = \frac{\frac{5}{2}R}{\frac{3}{2}R} = \frac{5}{3} \approx 1.67$.

Ответ: Отношение теплоемкостей для одноатомного идеального газа равно $\gamma = 5/3$.

Примерное значение отношения $\gamma$ для жидкости

Разница между теплоемкостями $C_p$ и $C_V$ обусловлена работой расширения ($A=p\Delta V$), совершаемой веществом при нагревании при постоянном давлении.

Жидкости, в отличие от газов, характеризуются очень малым коэффициентом теплового расширения и низкой сжимаемостью. Это означает, что при нагревании объем жидкости изменяется незначительно. Следовательно, работа расширения $A$, совершаемая жидкостью, пренебрежимо мала по сравнению с изменением ее внутренней энергии $\Delta U$.

Так как при постоянном давлении $Q_p = \Delta U + A$, а при постоянном объеме $Q_V = \Delta U$, и при этом для жидкости $A \approx 0$, то получается, что $Q_p \approx Q_V$. Из этого следует, что и молярные теплоемкости $C_p = \frac{Q_p}{\nu \Delta T}$ и $C_V = \frac{Q_V}{\nu \Delta T}$ практически равны: $C_p \approx C_V$.

Поэтому их отношение $\gamma = \frac{C_p}{C_V}$ для жидкости очень близко к единице.

Ответ: Для жидкости отношение $\gamma$ практически равно единице ($\gamma \approx 1$).