Номер 75, страница 132 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Олимпиадные задачи. 17. Законы термодинамики. Термодинамика. Молекулярная физика и термодинамика - номер 75, страница 132.

Условие.

О-75. Определите работу, которую совершает идеальный газ в замкнутом цикле 1-4-3-2, изображенном на рисунке, если $p_1 = 10^5$ Па, $p_0 = 3 \cdot 10^5$ Па, $p_2 = 4 \cdot 10^5$ Па, $V_2 - V_1 = 10$ л и участки цикла 4-3 и 2 параллельны оси V.

☑ 750 Дж.

Решение. Выполнение цикла 1-4-3-2 фактически эквивалентно выполнению двух простых циклов $1 \rightarrow 0 \rightarrow 2 \rightarrow 1$ и $0 \rightarrow 4 \rightarrow 3 \rightarrow 0$ (см. рисунок). Работа газа определяется площадью соответствующего цикла на $pV$-диаграмме. Однако если в первом цикле она положительна, то во втором отрицательна (работа совершается над газом). Не трудно найти работу $A_1$, совершенную в первом цикле:

$A_1 = (p_0 - p_1)(V_2 - V_1)/2.$

Что касается цикла $0 \rightarrow 4 \rightarrow 3 \rightarrow 0$, то соответствующий ему на $pV$-диаграмме треугольник подобен треугольнику, отвечающему первому циклу. В результате работа $A_2$ во втором цикле будет

$A_2 = -A_1 (p_2 - p_0)^2 / (p_0 - p_1)^2.$

(Площади подобных треугольников относятся как квадраты длин соответствующих элементов, в данном случае — высот). Полная работа A за цикл 1-4-3-2 будет, таким образом, равна

$A = A_1 \left[1 - (p_2 - p_0)^2 / (p_0 - p_1)^2\right] \approx 750$ (Дж).

Решение.

Дано:

$p_1 = 10^5$ Па

$p_0 = 3 \cdot 10^5$ Па

$p_2 = 4 \cdot 10^5$ Па

$V_2 - V_1 = 10$ л

$V_2 - V_1 = 10 \text{ л} = 10 \text{ дм}^3 = 10 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 = 10^{-2} \text{ м}^3$

Найти:

$A$

Решение:

Работа, совершаемая газом в замкнутом цикле, численно равна площади фигуры, ограниченной графиком цикла на $pV$-диаграмме. Направление обхода контура определяет знак работы. Если обход происходит по часовой стрелке, работа газа положительна. Если против часовой стрелки — отрицательна.

Представленный на рисунке цикл состоит из двух треугольных циклов с общей точкой пересечения при давлении $p_0$.

1. Нижний цикл (обозначим его вершины 1, 2 и О) проходится по часовой стрелке, следовательно, работа $A_1$, совершаемая газом в этом цикле, положительна. Она равна площади нижнего треугольника.

Основание этого треугольника равно $V_2 - V_1$, а высота — $p_0 - p_1$.

$A_1 = S_1 = \frac{1}{2} (V_2 - V_1) (p_0 - p_1)$

2. Верхний цикл (обозначим его вершины 3, 4 и О) проходится против часовой стрелки, следовательно, работа $A_2$, совершаемая газом в этом цикле, отрицательна. Её модуль равен площади верхнего треугольника.

Основание этого треугольника также равно $V_2 - V_1$, а высота — $p_2 - p_0$.

$A_2 = -S_2 = -\frac{1}{2} (V_2 - V_1) (p_2 - p_0)$

Полная работа $A$ за весь цикл равна алгебраической сумме работ $A_1$ и $A_2$.

$A = A_1 + A_2 = \frac{1}{2} (V_2 - V_1) (p_0 - p_1) - \frac{1}{2} (V_2 - V_1) (p_2 - p_0)$

Вынесем общий множитель за скобки:

$A = \frac{1}{2} (V_2 - V_1) [(p_0 - p_1) - (p_2 - p_0)] = \frac{1}{2} (V_2 - V_1) (2p_0 - p_1 - p_2)$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$A = \frac{1}{2} \cdot 10^{-2} \text{ м}^3 \cdot (2 \cdot 3 \cdot 10^5 \text{ Па} - 10^5 \text{ Па} - 4 \cdot 10^5 \text{ Па})$

$A = \frac{1}{2} \cdot 10^{-2} \cdot (6 \cdot 10^5 - 1 \cdot 10^5 - 4 \cdot 10^5) = \frac{1}{2} \cdot 10^{-2} \cdot (1 \cdot 10^5)$

$A = 0.5 \cdot 10^3 \text{ Дж} = 500 \text{ Дж}$

Ответ: $A = 500$ Дж.