Номер 18.4, страница 135 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Упражнения. 18. Тепловые двигатели. Термодинамика. Молекулярная физика и термодинамика - номер 18.4, страница 135.

Условие.

18.4. Найдите КПД тепловой машины, график цикла которой показан на рисунке. Рабочим телом является одноатомный идеальный газ.

☑ 15 %.

Решение. КПД цикла $\eta = \frac{A'}{Q_н}$, где

$A'$ — работа газа за цикл; $Q_н$ — количество теплоты, полученное от нагревателя за цикл. Работа газа численно равна площади треугольника 1-2-3, поэтому $A' = \frac{3V_0 \cdot 3p_0}{2} = \frac{9p_0V_0}{2}$

Газ получает тепло только на этапе 1-2: здесь происходит расширение газа (т. е. $A'_{1-2} > 0$) и его нагревание (т. е. $\Delta U_{1-2} > 0$), так что $Q_{1-2} = \Delta U_{1-2} + A'_{1-2} > 0$. На двух других этапах газ тепло отдает. Работа $A'_{1-2}$ вычисляется как площадь соответствующей трапеции: $A'_{1-2} = \frac{p_0 + 4p_0}{2} \cdot 3V_0 = \frac{15p_0V_0}{2}$

Изменение внутренней энергии на этапе 1-2 составит:

$\Delta U_{1-2} = \frac{3}{2} \nu R(T_2 - T_1) = \frac{3}{2} (4p_0 \cdot 4V_0 - p_0V_0) = \frac{45p_0V_0}{2}$

Следовательно, $Q_н = Q_{1-2} = 30p_0V_0$ и $\eta = 15 \, \%$.

Решение.

Дано:

Циклический процесс 1-2-3-1, изображенный на pV-диаграмме.
Рабочее тело: одноатомный идеальный газ.
Параметры в узловых точках:
Состояние 1: $p_1 = p_0$, $V_1 = V_0$
Состояние 2: $p_2 = 4p_0$, $V_2 = 4V_0$
Состояние 3: $p_3 = p_0$, $V_3 = 4V_0$

Найти:

КПД тепловой машины, $η$.

Решение:

Коэффициент полезного действия (КПД) теплового цикла определяется отношением полезной работы $A'$, совершенной газом за цикл, к количеству теплоты $Q_H$, полученной от нагревателя: $η = \frac{A'}{Q_H}$

Полезная работа $A'$ за цикл численно равна площади фигуры, ограниченной графиком цикла на диаграмме в координатах p-V. В данном случае это площадь прямоугольного треугольника 1-2-3. $A' = \frac{1}{2} (V_3 - V_1) (p_2 - p_3) = \frac{1}{2} (4V_0 - V_0) (4p_0 - p_0) = \frac{1}{2} \cdot 3V_0 \cdot 3p_0 = \frac{9}{2} p_0V_0$.

Количество теплоты $Q_H$, полученное газом от нагревателя, подводится на тех участках, где $Q > 0$. Согласно первому закону термодинамики, $Q = \Delta U + A'$, где $\Delta U$ - изменение внутренней энергии, а $A'$ - работа газа.

Рассмотрим участок 1-2. Происходит расширение газа ($V_2 > V_1$), поэтому работа газа $A'_{1-2}$ положительна. Она равна площади трапеции под графиком 1-2: $A'_{1-2} = \frac{p_1 + p_2}{2}(V_2 - V_1) = \frac{p_0 + 4p_0}{2}(4V_0 - V_0) = \frac{5p_0}{2} \cdot 3V_0 = \frac{15}{2}p_0V_0$. Изменение внутренней энергии для одноатомного идеального газа равно $\Delta U = \frac{3}{2}\Delta(pV)$. $\Delta U_{1-2} = \frac{3}{2}(p_2V_2 - p_1V_1) = \frac{3}{2}(4p_0 \cdot 4V_0 - p_0V_0) = \frac{3}{2}(16p_0V_0 - p_0V_0) = \frac{45}{2}p_0V_0$. Поскольку и работа $A'_{1-2} > 0$, и изменение внутренней энергии $\Delta U_{1-2} > 0$, газ на этом участке получает тепло: $Q_{1-2} = \Delta U_{1-2} + A'_{1-2} = \frac{45}{2}p_0V_0 + \frac{15}{2}p_0V_0 = \frac{60}{2}p_0V_0 = 30p_0V_0$.

На участке 2-3 (изохорное охлаждение, $V=const$) работа газа $A'_{2-3} = 0$, а внутренняя энергия уменьшается ($\Delta U_{2-3} < 0$), поэтому газ отдает тепло ($Q_{2-3} < 0$).

На участке 3-1 (изобарное сжатие, $p=const$) работа газа отрицательна ($A'_{3-1} < 0$), и внутренняя энергия уменьшается ($\Delta U_{3-1} < 0$), поэтому газ также отдает тепло ($Q_{3-1} < 0$).

Следовательно, количество теплоты от нагревателя газ получает только на участке 1-2: $Q_H = Q_{1-2} = 30p_0V_0$.

Теперь можно найти КПД цикла: $η = \frac{A'}{Q_H} = \frac{\frac{9}{2} p_0V_0}{30 p_0V_0} = \frac{9}{2 \cdot 30} = \frac{9}{60} = \frac{3}{20} = 0,15$.

Выразим КПД в процентах: $η = 0,15 \cdot 100\% = 15\%$.

Ответ: $15\%$.