Номер 18.2, страница 134 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Молекулярная физика и термодинамика. Термодинамика. 18. Тепловые двигатели. Упражнения - номер 18.2, страница 134.

Условие.

18.2. Во сколько раз количество теплоты, переданное воздуху в комнате при работе теплового насоса, больше энергии, полученной из электросети?

Решение. Пусть тепловой насос получил из сети энергию $\text{W}$ и передал воздуху в комнате количество теплоты $Q > W$. Согласно закону сохранения энергии $Q' = Q - W$, где $Q'$ — количество теплоты, переданное от наружного воздуха воздуху в комнате. Если тепловой насос работает по обратимому циклу Карно, $Q/W = 1/\eta_д = T/(T - T') > 1$. Из этой формулы следует: чем меньше разность температур $T - T'$ между воздухом в комнате и наружным воздухом, тем меньше электроэнергии потребуется для отопления.

Решение.

Решение

Обозначим количество теплоты, переданное воздуху в комнате, как $Q$, а энергию, полученную из электросети (которая идет на совершение работы насосом), как $W$. Тепловой насос представляет собой тепловую машину, которая за счет совершения работы $W$ переносит количество теплоты $Q'$ от холодного резервуара (наружного воздуха) к горячему резервуару (воздуху в комнате).

Согласно первому началу термодинамики, которое является выражением закона сохранения энергии, общее количество теплоты, переданное воздуху в комнате (горячему резервуару), складывается из теплоты, отобранной у наружного воздуха (холодного резервуара), и работы, совершенной насосом: $Q = Q' + W$

Так как тепло отбирается от окружающей среды, $Q' > 0$, из чего следует, что $Q > W$. Вопрос задачи заключается в нахождении отношения $\frac{Q}{W}$. Эта величина называется коэффициентом производительности (или отопительным коэффициентом) теплового насоса.

Рассмотрим идеальный тепловой насос, работающий по обратимому циклу Карно. Для такого цикла справедливо соотношение: $\frac{Q}{T} = \frac{Q'}{T'}$ где $T$ — абсолютная температура воздуха в комнате (температура нагревателя), а $T'$ — абсолютная температура наружного воздуха (температура холодильника).

Из закона сохранения энергии выразим $Q' = Q - W$ и подставим в приведенное выше соотношение: $\frac{Q}{T} = \frac{Q - W}{T'}$

Преобразуем это уравнение, чтобы найти искомое отношение $\frac{Q}{W}$: $Q \cdot T' = T \cdot (Q - W)$ $Q \cdot T' = Q \cdot T - W \cdot T$ $W \cdot T = Q \cdot T - Q \cdot T'$ $W \cdot T = Q(T - T')$

Отсюда получаем: $\frac{Q}{W} = \frac{T}{T - T'}$

Таким образом, количество теплоты, переданное в комнату, превышает затраченную электроэнергию в $\frac{T}{T - T'}$ раз. Поскольку для отопления температура в комнате должна быть выше, чем на улице ($T > T'$), это отношение всегда больше единицы. Это означает, что тепловой насос не «создает» энергию, а эффективно «перекачивает» ее из холодной среды в теплую, используя для этого внешнюю работу. Эффективность насоса тем выше, чем меньше разница температур между комнатой и улицей.

Ответ: Количество теплоты, переданное воздуху в комнате, больше энергии, полученной из электросети, в $\frac{T}{T - T'}$ раз, где $T$ и $T'$ — абсолютные температуры воздуха в комнате и на улице соответственно.