Номер 76, страница 132 - гдз по физике 10-11 класс задачник Гельфгат, Генденштейн

Молекулярная физика и термодинамика. Термодинамика. 17. Законы термодинамики. Олимпиадные задачи - номер 76, страница 132.

Условие.

O-76. Над газом совершают два тепловых процесса, нагревая его из одного и того же начального состояния до одинаковой конечной температуры. На pV-диаграмме процессы изображены прямыми линиями 1-3 и 1-2. Определите, при каком из процессов газу сообщается большее количество теплоты.

☑ В процессе 1-3 газу сообщается большее количество теплоты.

Решение. Согласно первому закону термодинамики, при переходе газа из состояния 1 $(p_0, V_0)$ в состояние 2 $(p_1, V_1)$

(см. рисунок) количество теплоты $\Delta Q_1$, полученное газом, равно $\Delta Q_1 = \Delta U_1 + A_1$, где $\Delta U_1$ — изменение его внутренней энергии, $A_1$ — работа, совершаемая газом, причем $A_1 = (p_0 + p_1)(V_1 - V_0)/2$.

При переходе газа из состояния 1 в состояние 3 $(p_2, V_2)$

(точки 2 и 3 лежат на одной изотерме) выполняются соотношения $\Delta Q_2 = \Delta U_2 + A_2$, $A_2 = (p_0 + p_2)(V_2 - V_0)/2$.

Поскольку конечная температура газа в состоянии 2 и в состоянии 3 одна и та же, то $\Delta U_1 = \Delta U_2$. Чтобы выяснить, в каком из процессов газу сообщается большее количество теплоты, надо сравнить работы $A_1$ и $A_2$. Сделаем это:

$A_1 - A_2 = (p_0 + p_1)(V_1 - V_0)/2 - (p_0 + p_2)(V_2 - V_0)/2 =$

$= [(p_0 V_1 - p_0 V_2) + (p_2 V_0 - p_1 V_0)]/2 < 0,$

так как $p_0 V_1 < p_0 V_2$, $p_2 V_0 < p_1 V_0$. Следовательно, $A_2 > A_1$ и $\Delta Q_2 > \Delta Q_1$, т. е. в процессе 1-3 газу сообщается большее количество теплоты.

Решение.

В процессе 1-3 газу сообщается большее количество теплоты.

Согласно первому закону термодинамики, количество теплоты $Q$, сообщенное газу, расходуется на изменение его внутренней энергии $\Delta U$ и на совершение газом работы $A$:

$Q = \Delta U + A$

Для процесса 1-2 количество теплоты равно $Q_{1-2} = \Delta U_{1-2} + A_{1-2}$.

Для процесса 1-3 количество теплоты равно $Q_{1-3} = \Delta U_{1-3} + A_{1-3}$.

Изменение внутренней энергии идеального газа зависит только от изменения его температуры. По условию задачи, начальное состояние 1 является общим для обоих процессов, а конечные состояния 2 и 3 имеют одинаковую температуру (лежат на одной изотерме). Следовательно, изменение температуры, а значит и изменение внутренней энергии, в обоих процессах одинаково:

$\Delta U_{1-2} = \Delta U_{1-3}$

Чтобы определить, в каком из процессов газу сообщается большее количество теплоты, необходимо сравнить работы $A_{1-2}$ и $A_{1-3}$, совершаемые газом в этих процессах.

Работа, совершаемая газом, численно равна площади фигуры под графиком процесса в координатах $p-V$.

Работа в процессе 1-2 ($A_{1-2}$) равна площади трапеции под линией 1-2.

Работа в процессе 1-3 ($A_{1-3}$) равна площади трапеции под линией 1-3.

Из графика видно, что площадь под графиком 1-3 больше, чем площадь под графиком 1-2. Это можно увидеть, так как процесс 1-3 происходит при большем изменении объема и в среднем при большем давлении (по сравнению с участком процесса 1-2 до того же объема). Таким образом, работа, совершаемая газом в процессе 1-3, больше работы в процессе 1-2:

$A_{1-3} > A_{1-2}$

Поскольку $\Delta U_{1-2} = \Delta U_{1-3}$ и $A_{1-3} > A_{1-2}$, то из первого закона термодинамики следует, что и количество полученной теплоты в процессе 1-3 больше:

$Q_{1-3} > Q_{1-2}$

Ответ: В процессе 1-3 газу сообщается большее количество теплоты.